下面這道高等數(shù)學(xué)不定積分，老黃要用三種方法，就是用三個(gè)公式來(lái)解決它。它是正割八次方，余割四次方，冪積的不定積分。

求∫(secx)^8*(cscx)^4dx.

事實(shí)上一般的方法是有的，只是老黃太笨，用不了。才怪！老黃是要賣膏藥，推薦自個(gè)的笨腦子想出來(lái)的三組不定積分公式。一個(gè)比一個(gè)復(fù)雜得離譜。聰明人是看不懂的。不信看完說(shuō)說(shuō)你的看法。

如上圖，解法一運(yùn)用的是“正割余割冪積在兩個(gè)指數(shù)中，有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)的不定積分公式”。這組公式有兩個(gè)，分別是正割偶指或余割偶指兩種情況。由于這兩個(gè)指數(shù)都是偶數(shù)，所以其實(shí)一種解法也有兩種選擇。老黃這里選擇按正割升冪，余割降到0次冪的公式。反之也是行得通的。

看不懂是吧？看不懂就對(duì)了。證明你是一個(gè)聰明人。在《老黃學(xué)高數(shù)》系列學(xué)習(xí)視頻第282講，有這組公式的推導(dǎo)。

如上圖，解法二運(yùn)用的是“正割余割冪積在兩個(gè)指數(shù)偶差的不定積分公式”。原理是將指數(shù)較大的降冪到兩個(gè)指數(shù)相等，轉(zhuǎn)化成二倍角余割冪的不定積分來(lái)求。這個(gè)方法在《老黃學(xué)高數(shù)》系列學(xué)習(xí)視頻第283講有推導(dǎo)。而余割冪的不定積分公式則在第268講和第275講。解法二求得的結(jié)果，顯然要比解法一簡(jiǎn)潔很多。

最后是解法三：

如上圖，如果說(shuō)前兩種解法的公式都是老黃經(jīng)過(guò)冥思苦想出來(lái)的話，那么這最后一個(gè)公式，則是老黃埋頭憋出來(lái)的。也就是說(shuō)老黃根本沒(méi)有仔細(xì)推導(dǎo)，直接從余割冪的不定積分公式就憋出了這么一個(gè)新的公式。不過(guò)《老黃學(xué)高數(shù)》268講中關(guān)于余割冪的不定積分公式的推導(dǎo)方法，和這個(gè)公式是沒(méi)有關(guān)系的。只有第275講的推導(dǎo)方法，才和這個(gè)公式有關(guān)聯(lián)。

因?yàn)榈?75講是通過(guò)對(duì)余割降到二次冪得到的公式的，相對(duì)于奇指數(shù)，則是降到一次冪。而解法三的這個(gè)公式，則直接降到0次冪(只能偶指數(shù)有效)，就得到正割的冪的不定積分。因此，用的是余割的不定積分公式的推導(dǎo)方法，得到的卻是正割的冪的不定積分。人要是不笨到一定程度，是很難想明白這樣的問(wèn)題的。因?yàn)槟X子空空的，沒(méi)東西燒了，所以才能想明白。聰明人腦子太復(fù)雜，會(huì)燒壞的。

老黃的文字，是老黃內(nèi)心的糾結(jié)和混亂的體現(xiàn)，有哪些話說(shuō)得讓你不爽的，給你道聲歉。老黃在數(shù)學(xué)中獨(dú)行，很孤獨(dú)，你的謾罵對(duì)老黃來(lái)說(shuō)，是一種獎(jiǎng)賞！