序言

我腦海里想著這位十八世紀最偉大的數(shù)學家，雷奧哈德爾?歐拉。我雖然對他一無所知，但手拿這個公式，我覺得自己可以感受到他的體溫。他從這些看似毫無關(guān)系的數(shù)字中，發(fā)現(xiàn)了彼此之間自然的關(guān)聯(lián)：

永無止境地循環(huán)下去的數(shù)字，和讓人難以捉摸的虛數(shù)畫出簡潔的軌跡，在某一點落地。雖然沒有圓的出現(xiàn)，但來自宇宙的飄然地來到的身旁，和害羞的握著手。他們的身體緊緊地靠在一起，屏住呼吸，但有人加了以后，世界就毫無預(yù)警地發(fā)生了巨大的變化。一卻都歸于。

歐拉公式就像是暗夜中閃現(xiàn)的一道流星；也像是刻在漆黑的洞窟里的一行詩句。我被這個公式的美深深地打動了。

走下圖書館的樓梯時，我回頭看了一下，數(shù)學書籍區(qū)仍然沒有一個人影，一片寂靜，沒有人知道那里隱藏著多么美的事物。

——小川洋子《博士熱愛的算式》

一? 一個重要極限的證明

　　我之前寫過一篇專欄——【專欄】歐拉公式exp(iπ)+1=0的7種“另類”證明，用于駁斥數(shù)學虛無主義者對歐拉恒等式的態(tài)度，然而由于我前期沒有對這些虛無主義者做足準備工作，因此還是讓這些虛無主義者挑到了刺。其中一個關(guān)鍵的問題，就是如何證明這個等價無窮小變換公式成立：

　　箭頭右邊其實是左邊函數(shù)的冪級數(shù)展開的前兩項。事實上，任何函數(shù)都可以用冪級數(shù)表示，包括不連續(xù)函數(shù)，這一點我會在后面說明。

　　你也許會問了：有時候，并不是只有整數(shù)次項，例如，如果只考慮0、1次項，這個半次項會被忽略，因此這些算法計算出來的結(jié)果未必可信。其實，這類擔心duck不必：

　　顯然，如果計算前沒有事先考慮到半次項的存在，計算結(jié)果絕對會出大問題。這類計算方法，其實就是想用0次項表示非無窮小部分，用1次項表示無窮小部分。因此只要1次項有意義，結(jié)果就是可信的。

　　那么，下面我們就來證明吧！在證明過程中，為了保證嚴謹性，我不會改變乘方的原始定義——，以免虛無主義者又說這是我主觀定義出來的結(jié)果。

　　那么問題來了，恒成立嗎？

　　根據(jù)定義，我們可以將表示為：

　　我們也可以把表示為：

　　循環(huán)內(nèi)的賦值不會改變變量“1的x次冪”的值，因此可以刪去。這樣，“重復(fù)執(zhí)行x次”就成了空循環(huán)，也應(yīng)該刪去。簡化后的程序如下：

　　那么顯然恒成立！

　　此時結(jié)果已經(jīng)很明朗了：

　　至于負個（次）數(shù)、復(fù)個（次）數(shù)在日常生活中的意義，我們在第三節(jié)討論。

二 歐拉公式的證明

　　參考資料：

　　【1】#高中知識證明歐拉恒等式#

　　【2】歐拉公式的多種證法（https://wenku.baidu.com/view/e32ff5047fd5360cbb1adb01.html）

　　由棣莫弗定理，得

三? 復(fù)個（次）數(shù)在日常生活中的意義

　　參考資料：

　　【1】https://baike.baidu.com/item/閔可夫斯基空間

　　【2】從一到無窮大：科學中的事實和和臆測/【美】G.伽莫夫（Gamov，G.）著；暴永寧譯.——修訂版.——北京；科學出版社，2002（第66頁）

　　【3】文盲正侃時間史、劉繼軍著.——南京：江蘇人民出版社，2013.1（第262頁）

　　【4】尋找薛定諤的貓/（英）格里賓著；張廣才等譯.——?？?；海南出版社，2015.6（第103頁）

　　此時，想必大家還對復(fù)個數(shù)沒有概念，那么請大家思考一個問題：

　　問：如果一把尺子的長度有光秒（大約為地月距離），請問把這樣的尺子首尾相連，一共有多長？

　　答：首先我們要明確，一把光秒長的尺子，長度如下：

　　根據(jù)閔可夫斯基時空的距離公式（是空間坐標分量，是時間坐標分量）：

　　令，則。

　　再令，則

　　因此，我們知道，與等長，那么顯然把這樣的尺子首尾相連，長度如下：

　　這個結(jié)果也夠讓你震驚一輩子了——把光秒的、望不見尾的尺子首尾相連，一共僅有短短的？！

　　你也許又會問了：把尺子的存在都是扯淡，談何把？

　　也許把尺子真的不存在吧，但至少我知道，反電子在量子力學中可以被當成負數(shù)個電子處理的，因此負數(shù)真的可以作為個數(shù)的！

　　那么復(fù)次數(shù)呢？其實也很好理解：

　　此時有沒有可能是復(fù)數(shù)呢？絕對有可能！例如就是一個最基本的例子。如果不承認這種可能性，無異于不承認復(fù)數(shù)。問題是閔氏時空必須要用復(fù)數(shù)來解釋！復(fù)數(shù)是不可或缺的！

　　但這有個問題了——我們的一些同學，可能連負次數(shù)都沒聽說過，這時候要是講復(fù)次數(shù)，可能會使他們因熬夜思考而猝死。那我就不得不先提一下負次數(shù)的概念了。首先，上過小學的人都知道，0除了代表沒有，還可以代表起點（原點）。這樣，0前面還有次數(shù)，那可是再正常不過的事了。

四? 不連續(xù)函數(shù)也能用冪級數(shù)表示？

　　事實上，任何函數(shù)都可以用冪級數(shù)表示，包括不連續(xù)函數(shù)。例如以下函數(shù)：

　　當設(shè)置條件時，函數(shù)長這樣：

　　當設(shè)置條件時，函數(shù)長這樣：

　　當設(shè)置條件時，函數(shù)長這樣：

　　當設(shè)置條件時，函數(shù)長這樣：

　　當不限制的大小后，這個函數(shù)就變成了一個周期不連續(xù)函數(shù)，就像長城一樣。然而它卻是用冪級數(shù)定義的！注意：此處不能使用黎曼函數(shù)進行計算，因為這樣你只能得到?。ūM管可導的時候確實為，再求積分回去也確實是個常數(shù)）

重要的事情說三遍：

小伙伴們看完，一定要三連關(guān)注喲~

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