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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

本文模擬了在連續(xù)和離散時間布朗演化一些簡單的方法。

布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型（也稱為隨機(jī)游動）也可以用來描述許多現(xiàn)象以及微小顆粒的隨機(jī)運(yùn)動， 如股市的波動和在化石中的物理特性的演變。

布朗運(yùn)動是隨機(jī)模式，即改變了從一次到下一個是隨機(jī)從正態(tài)分布繪制均值為0.0，方差為σ2×ΔT。換句話說，根據(jù)布朗運(yùn)動的預(yù)期方差通過時間與瞬時差σ2線性增加。

股市模擬

首先，模擬股市一個實(shí)例為100的離散時間布朗運(yùn)動，其中，擴(kuò)散過程的方差為σ2=0.01。

## 首先模擬隨機(jī)數(shù) ?x <- rnorm(n = length(t) - 1, sd = sqrt(sig2)) ?## 計算累加和 ?x <- c(0, cumsum(x))

畫圖

我們得出各t的時間間隔的隨機(jī)正偏離改變;然后在每個時間間隔，我們計算累積總和。從而可以看出布朗運(yùn)動的變化的分布是不變的，并且不依賴于時間的狀態(tài)。

1) ? X <- cbind(rep(0, nsim), t(apply(X, 1, cumsum))) ?plot(t, X[1, ], xlab = "time", ylab = "phenotype", ylim = c(-2, 2), typ

為了看到這結(jié)果如何取決于σ2，我們比較除以10 的SIG2的結(jié)果：

X <- matrix(rnorm(n = nsim * (length(t) - 1), sd = sqrt(sig2/10)), nsim,

然后，我們使用for循環(huán) ：

e = "l") ? for (i in 1:nsim) lines(t, X[i, ])

如上所述，根據(jù)布朗運(yùn)動的預(yù)期方差只是σ2。然后，我將使用模擬10000個相同的條件下的結(jié)果，以“理順”我們的結(jié)果是：

v <- apply(X, 2, var) ? plot(t, v, type = "l", xlab = "time", ylab = "variance among simulation

物種進(jìn)化

然后，我們嘗試用布朗運(yùn)動模擬物種進(jìn)化樹狀圖。查看數(shù)據(jù)的變化情況：

t <- 100? # 總時間 ?n <- 30? # 總分支 ?b <- (log(n) - log(2))/t

現(xiàn)在，來模擬樹，我們只需要分別模擬在每個分支的所有分支，然后由最終狀態(tài)“轉(zhuǎn)向”每個子分支它的父節(jié)點(diǎn)。 因?yàn)樵诿總€時間步布朗進(jìn)化的結(jié)果是獨(dú)立于其它所有時間步長。

沿著每條邊模擬進(jìn)化

yy <- sapply(yy, function(x, y) y[[x]][length(y[[x]])], y = X) ? text(x = max(H), y = yy, tree$tip.label)

在現(xiàn)實(shí)中，布朗運(yùn)動的大部分模擬使用連續(xù)的而不是離散的時間進(jìn)行。這是因?yàn)椴祭蔬\(yùn)動意味著不同物種之間的協(xié)方差之間的預(yù)期差異。

關(guān)于布朗進(jìn)化的一些其他特點(diǎn)：

在某些情況下，在樹的不同部分的布朗進(jìn)化有可能存在不同的速率。因此可以簡單的模仿不同部門的不同的速率布朗運(yùn)動。

tree <- sim.history(tree, Q, anc = "1")

els = TRUE, ? ??? spread.cost = c(1, 0))

?下面模擬不同的樹從而通過散點(diǎn)圖證實(shí)相同的父節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的樹擁有相似的協(xié)方差。

plot(tree, edge.width = 2, direction = "downwards")

rplotMatrix(t(X))

布朗運(yùn)動不假定在其下個體譜系移動的過程是高斯過程。其結(jié)果將服從高斯分布 - 和中心極限定理。

t <- 0:100?? ? sig2 <- 0.01 ? nsim <- 1000

二項(xiàng)分布的布朗運(yùn)動

我們模擬二項(xiàng)分布的布朗運(yùn)動 并查看方差是否和之前一樣等于1

apply(X[2:nsim, ], 1, function(x, t) lines(t, x), t = t)

布朗運(yùn)動，一般認(rèn)為是沒有趨勢;然而它（在某些情況下）可以模擬一個模型的趨勢。這里是一個模擬（使用如上述相同的一般方法）趨勢的一個例子。

X <- matrix(rnorm(mean = 0.02, n = nsim * (length(t) - 1), sd = sqrt(sig2/4)), ? ??? nsim, length(t) - 1)

對于布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型的簡單形式的形式： S_T= eS_t-1? 其中e是從概率分布繪制。因此，后續(xù)還有更多的應(yīng)用值得進(jìn)一步研究。

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