1938 年 3 月，美國工程師和物理學家弗蘭克·本福特（Frank Benford）發(fā)表了《反常數(shù)定律》（“The Law of Anomalous Numbers”）一文，他在這篇文章中分析了來自兩萬多個不同觀察源的數(shù)字數(shù)據(jù)。

在他的列表中，我們可以看到世界各地河流的長度、美國不同城市的人口、已知原子質(zhì)量的測定值、新聞報紙上隨機獲取的數(shù)字，甚至還有數(shù)學常數(shù)。對于所有這些數(shù)據(jù)，本福特每次得到的觀察結(jié)果都和我們的一樣：首位數(shù)字分布不均衡。這條定律的影響之大，能讓我們在毫無意識的情況下不斷地復(fù)現(xiàn)它。

走進弗蘭克·本福特剛剛為我們打開的世界游逛一圈，等你從中出來的時候不可能還是原來的樣子。本福特定律改變了你。一旦你理解了它，你就再也不會以同樣的方式思考了。

如果你有一臺舊計算機，它因為多年的頻繁使用而變得破舊，那么你可能會注意到鍵盤上鍵帽的破舊程度并不完全相同。E 鍵和空格鍵通常老化得更厲害，不像 $ 鍵或 ù 鍵，經(jīng)過多年的使用之后看起來依然很新。

這一點兒也不奇怪。有些鍵是最常用的鍵，對應(yīng)法語中最常出現(xiàn)的字母。在一份沒有特殊風格的普通文本中，E 占去了所用字母中的15.87%，約為僅占 0.24% 的字母 Y 的 66 倍。我們可以在售賣備用部件的網(wǎng)店買到單個的替換鍵帽。你會毫不意外地看到，銷售量最高的替換鍵帽是 E 鍵，A 鍵和 N 鍵緊隨其后。

這種使用不均的現(xiàn)象存在于不同的領(lǐng)域之中。彈吉他的人會看到，琴弦因自己彈奏曲目中和弦使用頻率的高低而出現(xiàn)不同程度的磨損。通往較高樓層的電梯按鈕通常會磨損得更厲害，因為一樓或二樓的住戶會更常選擇走樓梯。絕大多數(shù)四色圓珠筆在被丟棄的時候，綠色和紅色的筆芯仍然是滿的——藍色和黑色最先用完。

出于同一效應(yīng)，過去幾個世紀的科學家發(fā)現(xiàn)，他們所用對數(shù)表的最前面幾頁，無一例外要比最后幾頁磨損得更快。換言之，以 1、2 或 3開頭的數(shù)被查找的頻率要高于以 7、8 或 9 開頭的數(shù)，而科學家們對小的數(shù)并沒有任何有意識的偏好，這就好像是大自然親自在給予科學家去研究的數(shù)中造就了這種不平衡。

這一觀察結(jié)果本該引起科學家的注意，但很可惜，他們中的大多數(shù)人并不認為這種現(xiàn)象值得研究。倘若不去尋找顯而易見之事，人們就會很容易看不到它。在三個世紀里，本福特定律實際上就擺在世界各地科學家們的眼前，但沒有一個人看到它。

直到 19 世紀末，一只羞怯的手才開始揭開這張神秘的面紗。1881 年 12 月，加拿大裔美國天文學家和數(shù)學家西蒙·紐科姆（Simon Newcomb）發(fā)表了一篇題為《關(guān)于不同數(shù)字在自然數(shù)中使用頻率的記錄》（“Note on the Frequency of Use of the Differents Digits inNatural Numbers”）的文章。這篇發(fā)表在《美國數(shù)學雜志》（AmericanJournal Of Mathematics）上的文章只有短短兩頁。紐科姆注意到他所用對數(shù)表頁面磨損程度的不均，于是出于好奇提出了前幾個數(shù)的分布問題，并用幾行字做出了解答。

可惜的是，他的發(fā)現(xiàn)幾乎無人問津。

必須承認，這種現(xiàn)象背后的數(shù)學原理非常簡單，而且不太值得專家的關(guān)注。然而，重要的不是計算，而是這些計算告訴我們的有關(guān)這個世界的信息。1881 年，似乎沒人意識到，西蒙·紐科姆的發(fā)現(xiàn)如同把聚光燈照在宇宙背后轉(zhuǎn)動的一個巨大齒輪上。直到五十多年后，弗蘭克·本福特才意識到這一發(fā)現(xiàn)的博大之處，并為它撰寫了一篇二十來頁的文章。

盡管篇幅很短，但紐科姆的文章很有啟發(fā)性，值得我們?yōu)樗Ａ羝?。文章的結(jié)論很簡單：世間的數(shù)是均勻分布的，而且是從乘法角度來看的均勻分布！

因此，在一張源自任意一種自然現(xiàn)象的數(shù)據(jù)列表中，介于 1 和 2 之間的數(shù)會和介于 2 和 4 之間以及介于 4 和 8 之間的數(shù)一樣多（圖 1.22）。這種現(xiàn)象僅僅是因為數(shù)與數(shù)的距離在乘法上是相等的，即從一個數(shù)到其 2 倍的數(shù)的區(qū)間。自然而然地，以 1 或 2 開頭的數(shù)就會比以 7、8或 9 開頭的數(shù)要多。

顯然，如果數(shù)中的首位數(shù)字看起來分布不均，那是因為我們沒有去看應(yīng)該看的信息：均勻分布的是這些數(shù)的對數(shù)?？纯茨阍诔欣镉涗浀膬r格清單、太陽系行星的直徑，或是世界上河流的長度，然后找到它們的對數(shù)。你會發(fā)現(xiàn)以 1、2、3、4、5、6、7、8 或 9 開頭的數(shù)同樣多。納皮爾的對數(shù)成功地轉(zhuǎn)換了數(shù)的乘法分布，并將這種規(guī)律引入加法之中。

基于這一觀察結(jié)果，西蒙·紐科姆計算出首位數(shù)字應(yīng)當具有的理論分布。幸甚，幸甚！這種理論分布與弗蘭克·本福特在五十年后發(fā)現(xiàn)的真實分布奇跡般地吻合了（圖 1.23）。在理論與具體實驗的結(jié)果相符時，科學家會感到異常高興?，F(xiàn)在我們可以確信自己清楚地了解了發(fā)生的事情。

只剩下最后一個問題了。是的，這個世界青睞乘法，但為什么？為什么現(xiàn)實似乎在所有的情況下都偏愛這種分布呢？同樣地，答案并不存在于大自然中，而是存在于人類對大自然的觀察偏差之中。鑒于本福特定律所具有的普遍性，它沒有任何理由要取決于我們看待它的方式。

例如，法國的地理學家以公里為單位丈量河流，而英國的地理學家則以英里為單位丈量河流。因此，根據(jù)你的所在地是位于英吉利海峽的這一邊還是那一邊，尼羅河的長度要么是 6650 公里（以 6 開頭），要么是 4130 英里（以 4 開頭）。而世界上所有的河流，其長度的首位數(shù)字都會根據(jù)所采用的計量單位是法式的還是英式的而發(fā)生改變。有人可能會認為，這種計量單位的改變會顛覆首位數(shù)字的整體分布，讓英國學者使用對數(shù)表的方式不同于法國學者的使用方式。但情況并非如此。公里和英里都是人類的發(fā)明，而大自然并不在乎我們使用哪種計量單位去測量它。從法國或英國的角度去看，每一條被分別丈量的河流，其長度不會有相同的首位數(shù)字，但如果我們制定出世界上河流長度的完整列表，則首位數(shù)字的總體分布應(yīng)當會保持不變。

換言之，本福特定律應(yīng)該是不變的。就像美索不達米亞式乘法的結(jié)果，就算沒有零和小數(shù)點也依然會保持不變；就像字母 E 在一個足夠長的文本中所占的比例始終會是大約 15%，無論文本的內(nèi)容為何。無論我們使用什么方法去測量自然和收集數(shù)據(jù)，首位數(shù)字的分布都會保持不變。

如果你打算在世界不同國家的超市里進行統(tǒng)計的話，你會發(fā)現(xiàn)，本福特定律不會在乎你是以歐元、人民幣、美元還是第納爾來計算。無論使用哪種貨幣，這條定律都不會發(fā)生變化。

計量單位的改變，無論是把公里轉(zhuǎn)換成英里，還是把歐元轉(zhuǎn)換成第納爾，或是其他的單位轉(zhuǎn)換，都是一種乘法。一條河流的長度是另一條河流的兩倍，無論采用哪種計量單位，這個長度的兩倍都不會改變。一種價格比其他產(chǎn)品貴三倍的奶酪，無論使用哪種貨幣，它的價格始終都貴三倍。計量單位改變了，乘法的差距不變。因此，在任意數(shù)據(jù)列表中，我們都會發(fā)現(xiàn)介于 1 和 2、2 和 4 或 4 和 8 之間的數(shù)比例是相同的。所以，我們需要關(guān)注的是這種乘法的差距。

這就是為什么世界是乘法的。這就是為什么對數(shù)標度如此適切。這就是為什么我們的數(shù)字系統(tǒng)會不斷誤導我們的直覺。而這也是為什么本福特定律會是真實、美麗而又放之四海皆準的。

在隨后的幾年中，本福特定律在各處都得到了具體的應(yīng)用。

美國經(jīng)濟學家哈爾·瓦里安（Hal Varian）在 1972 年提出用本福特定律來檢測舞弊。原理很簡單：當舞弊者把一份數(shù)據(jù)列表篡改成利于自己的時候，他們會露出馬腳。也就是說，他們偽造的數(shù)據(jù)會有不同的首位數(shù)字分布。尤其是，偽造的數(shù)據(jù)會更頻繁地以 5 或 6 開頭，這與本福特定律不符。這或許是因為舞弊者傾向于認為，相較于以 1 或 9開頭的數(shù)，一個中等大小的數(shù)看起來不會那么可疑，或是更正常。盡管如此，這種偏差仍會導致首位數(shù)字中的 5 和 6 遠遠多于應(yīng)有的數(shù)量。這種偏差的幅度可以用來估算潛在舞弊者的數(shù)量。例如，這種方法被用來追蹤稅務(wù)申報中的統(tǒng)計異常，或發(fā)現(xiàn)選舉時操縱選票的行為。

但我們必須承認：如果排除幾種不同的應(yīng)用，本福特定律在我們的日常生活中并沒有重大的影響。知道超市貨品的價格遵循這一定律很有趣，但其實沒有太大用處；知道各國的人口、世界上的河流或天空中的天體都遵循這一定律，也沒有太大用處?！皼]用處”究竟是好是壞，由你來定奪。

但是，我們因好奇而踏足的這條道路上充滿了驚喜。當然了，出于純粹的智力挑戰(zhàn)，出于體驗數(shù)學的形式之美，出于讓我們的思維變得多姿多彩，不帶任何期待地去理解一件事，未必不會讓人獲得極大的滿足。然而，即便是最無用的事情，有時也會暗藏意料之外的寶藏。可不要低估了這些定理。

或許有一天，在你完全沒有想到的那一刻，“有用之處”會不期而至。它們會像成熟而甜美的果實那樣，自然而然地落入你的手中。