《幾何原本》命題2.10【夸克歐氏幾何】
命題2.10：
如果平分一條線段，并在尾端加上一條線段，那么合成線段上的正方形與添加線段上的正方形之和，等于原線段一半上的正方形與一半加上添加線段上的正方形之和的二倍
已知：線段AB，點C是AB中點，延長AB至點D
求證：S正方形AD2+S正方形BD2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
解：
過點C作CE⊥AB
（命題1.11）
在CE上截CE=AC
（命題1.3）
∵AC=BC
（已知）
∴AC=BC=CE
（公理1.1）
連接AE，BE
（公設1.1）
過點E作EF∥AD
（命題1.31）
過點D作DF∥CE，與EF交點記為點F
（命題1.31）
∵DF∥CE
（已知）
∴∠CEF+∠EFD=兩直角
（命題1.29）
∴∠BEF+∠EFD＜兩直角
（公理1.5）
∴延長EB，F(xiàn)D后將在點B，D所在一側相交
（公理1.5）
延長EB，F(xiàn)D，交點記為點G
（公設1.2）
連接AG
（公設1.1）
證：
∵CE=AC
（已知）
∴∠AEC=∠CAE
（命題1.5）
∵CE⊥AB
（已知）
∴∟C是直角
（定義1.10）
∴∠AEC=∠CAE=半個直角
（命題1.32）
同理可證∠BEC=∠CBE=半個直角
∴∠AEB是直角
（公理1.2）
∵∠CBE=∠DBG
（命題1.15）
∴∠DBG=半個直角
（公理1.1）
∵DF∥CE
（已知）
∴∠BDG=∟DCE
（命題1.29）
∴∠BDG也是直角
（公理1.1）
∴∠DGE=半個直角
（命題1.32）
∴∠DBG=∠DGE
（公理1.1）
∴BD=GD
（命題1.6）
∵∠F=∟DCE
（命題1.34）
∴∠F也是直角
（公理1.1）
∴∠GEF=半個直角
（命題1.32）
∴∠GEF=∠DGE
（公理1.1）
∴EF=GF
（命題1.6）
∵CE=AC
（已知）
∴S正方形AC2=S正方形CE2
（公理1.1）
∴S正方形AC2+S正方形CE2=2S正方形AC2
（公理1.2）
∵Rt△ACE中，S正方形AE2=S正方形AC2+S正方形CE2
（命題1.47）
∴S正方形AE2=2S正方形AC2
（公理1.1）
∵EF=GF
（已證）
∴S正方形EF2=S正方形GF2
（公理1.1）
∴S正方形EF2+S正方形GF2=2S正方形EF2
（公理1.2）
∵Rt△ACE中，S正方形EG2=S正方形EF2+S正方形GF2
（命題1.47）
∴S正方形EG2==2S正方形EF2
（公理1.1）
∵?CDFE中，CD=EF
（命題1.34）
∴S正方形EG2=2S正方形CD2
（公理1.1）
∴S正方形AE2+S正方形EG2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
（公理1.2）
∵Rt△AEG中，S正方形AG2=S正方形AE2+S正方形EG2
（命題1.47）
∴S正方形AG2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
（公理1.1）
∵Rt△ADG中，S正方形AG2=S正方形AD2+S正方形GD2
（命題1.47）
∴S正方形AD2+S正方形GD2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
（公理1.1）
∵BD=GD
（已證）
∴S正方形AD2+S正方形BD2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
（公理1.1）
證畢
此命題在本卷中未被使用
