我們小學(xué)就知道乘法是加法的疊加，乘方是法的疊加。我們定義加法為1級運算，乘法為2級運算，乘方為3級運算，那么乘方的疊加就應(yīng)該是4級運算。 在過去很長一段時間里，人們都沒有去研究4級以及更高級別的運算。不過這也很正常，畢竟現(xiàn)實宇宙中的數(shù)字最多也就指數(shù)級別而已，根本沒有需要用到4級運算來表示的數(shù)字。4級運算有種常見形式是?m的形式，代表著n層m的冪塔，而且值得注意的是，冪塔要從上往下算。這是因為3級運算不再滿足交換律。也正因為如此，第三級運算的逆運算才有兩種(取對數(shù)和開根號)。 到了第四級運算后，限制條件就更多了。首先就是參與四級運算的數(shù)字只能是正整數(shù)了，因為你很難想象一個負數(shù)層或者分?jǐn)?shù)層的冪塔是個什么東西。而且我們也很難研究它們的逆運算。因此，大數(shù)數(shù)學(xué)研究的都是非常大的正整數(shù)。當(dāng)然，第四級運算的數(shù)字還算不上大數(shù)，讓我們繼續(xù)往下走。 我們把第四級運算疊加，就能得到第五級運算。那么怎么表示這個第五級運算呢？三級運算寫在了右上角，四級運算寫在了左上角，五級運算總不能還寫在角標(biāo)上吧？有種最簡單的超運算表示法是這樣的：m[5]n，就代表m與n之間進行第五級運算。 還有一種常見的表示方法是這樣的：m↑↑↑n。其中的箭頭叫做高德納箭頭。當(dāng)兩個數(shù)之間只有一個箭頭時：m↑n就表示m的n次方。m↑↑n=m↑m↑m……m↑m，有n個m。顯然，兩個箭頭時就代表了n層m的冪塔。也就是我們前面說的第四級運算。m↑↑↑n=m↑↑m↑↑m……m↑↑m，有n個m，每兩個m之間有兩個箭頭。當(dāng)m和n之間有n個箭頭的時候，我們可以把它展開為n個m，每兩個m之間有n－1個箭頭的形式?？梢钥闯觯琻個高德納箭頭對應(yīng)的就是n+2級超運算。 了解了超運算和高德納箭頭后，我們再來看看葛立恒數(shù)。葛立恒數(shù)是拉姆齊理論（Ramsey theory）中一個極其異乎尋常問題的上限解，是一個難以想象的巨型數(shù)。這個問題表述為：連接n維超立方體的每對幾何頂點，獲得一個有著2^n個頂點的完全圖（每對頂點之間都恰連有一條邊的簡單圖）。將該圖每條邊的顏色填上紅色或藍色。那么，使所有填法在四個共面頂點上包含至少一個單色完全子圖的最小n值為多少？

它是一坐64層的高德納箭頭塔，每一層的箭頭數(shù)量都由上一層的運算結(jié)果給出。我們先看它的第一層G(1)，G(1)=3↑↑↑↑3，表示兩個3之間進行6級運算。G(1)長下面這個樣：

每一個指數(shù)塔的層數(shù)都由后面的指數(shù)塔給出，上面的指數(shù)塔個數(shù)再由下面的指數(shù)塔給出。G(1)僅僅只是4個箭頭，而G(2)卻有G(1)個箭頭……葛立恒數(shù)G(64)有G(63)個箭頭。 但是我們也不要被葛立恒數(shù)嚇到了，它在大數(shù)里小的可憐，為什么這么說？我們可以試著用之前講過的FGH分析一下葛立恒函數(shù)的增長率。容易發(fā)現(xiàn)葛立恒函數(shù)其實就是把一個增長率為ω的超運算函數(shù)套娃的層數(shù)作為了自己的自變量，因此葛立恒函數(shù)的增長率也就只有區(qū)區(qū)的ω+1而已。這在大數(shù)的世界里是完全不夠看的，我們的大數(shù)之旅才剛剛開始。