大家好，我是非知名數(shù)學(xué)世界導(dǎo)游老碧，新的旅程，你準(zhǔn)備好了嗎？

在兩周半之前，我們從根號二引入數(shù)系擴(kuò)充的必要性——數(shù)系擴(kuò)充之后，之前有理數(shù)存在的性質(zhì)或公理，在新的數(shù)系中也必須成立，所以我們首先介紹了有理數(shù)的“序公理”、“域公理”和“阿基米德公理”。之后的首要任務(wù)便是兩點：一，給出新數(shù)的精確定義；二，驗證對新數(shù)也具有這些公理性質(zhì)。

我們給出了兩種主流的數(shù)系擴(kuò)充的方法——“有理數(shù)分劃”與“無盡小數(shù)”，由此得到了對于新數(shù)的定義。我們完成了任務(wù)一。

我們之前完成了任務(wù)二的一小部分——

我們使用“有理數(shù)分劃”的定義在Ep9，Ep10驗證了“序公理”在實數(shù)范圍依然成立。同時介紹了一個精致的小命題——“如何從無限的角度定義等于”？

現(xiàn)在我們要繼續(xù)任務(wù)二的進(jìn)程了，這里面有一小部分會有點點復(fù)雜，不過依然很有趣，咱們一起來欣賞吧！

10實數(shù)域的連續(xù)性

關(guān)于這個標(biāo)題的幾點說明——

1. 關(guān)于域的定義我們在Ep1中就有過介紹，是指一個存在加法和乘法的集合，對加法和乘法的定義感興趣的寶寶可以查閱Ep1，和今天的主題無關(guān)，我們就不在這里多做贅述了，這個表述改成，“實數(shù)集的連續(xù)性”或者“實數(shù)連續(xù)性”都不影響內(nèi)容，因為下面的敘述中，并沒有用到域的相關(guān)性質(zhì)；

2. 大家一定記得，在有理數(shù)性質(zhì)部分我們有證明所謂的“稠密性”——即，任意兩個“有理數(shù)”之間都存在“有理數(shù)”，我們還驗證過“實數(shù)”也是具有“稠密性”的，并且實數(shù)的“稠密性”是一種“強(qiáng)稠密性”，因為，任意兩個“實數(shù)”之間不僅僅是存在“實數(shù)”，并且這種“實數(shù)”是“有理數(shù)”——一種特殊的“實數(shù)”；

3. “稠密性”對“有理數(shù)”而言算是一個導(dǎo)出性質(zhì)，我們在任取兩個“有理數(shù)”a，b之后，總能在它們之間找到有理數(shù)（a+b）/2，——其實對于任意的自然數(shù)n>1，a+（b-a）/n都滿足這個條件，這條性質(zhì)成立的前提是：a.“有理數(shù)”具有域公理，即有理數(shù)進(jìn)行加減乘除得到的結(jié)果仍然是有理數(shù)（除數(shù)不為0），我們才會想到用運算的方法構(gòu)造符合條件的有理數(shù)，b.“有理數(shù)”具有序公理，我們才能知道運算（構(gòu)造）出來的數(shù)（a+b）/2在a和b之間；

4. “連續(xù)性”是一種比“稠密性”更強(qiáng)/“高級”的性質(zhì)——大概就是說，具有“稠密性”的有理數(shù)還是存在“間隙”的，如根號二就不是有理數(shù)，但是由簡單的推理即可知道，它位于1和2之間，但是具有“連續(xù)性”的數(shù)/點集就不存在這種“缺陷”——所以“實數(shù)連續(xù)性”又稱為“實數(shù)完備性”，即“沒有缺陷”的意思，真正嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乩斫膺@兩種性質(zhì)要在《實變函數(shù)》中學(xué)過“勢”的概念才能做到，現(xiàn)在我們由有限的認(rèn)知，我們也可以做出實數(shù)具有“連續(xù)性”的推理。

書中先引入了從“有理數(shù)分劃”的分類引出了“有理數(shù)的不完備性”的概念，當(dāng)然，這也是我們之前定義“無理數(shù)”的邏輯基礎(chǔ)——

我們已經(jīng)知道有理數(shù)對應(yīng)的“有理數(shù)分劃”——要么上界有最小值，要么下界有最大值，但是我們知道實際上還存在第三種“有理數(shù)分劃”——上界下界都沒有最值，這就說明了，“有理數(shù)”沒有覆蓋所有的“有理數(shù)分劃”——還有別的數(shù)在有理數(shù)之間，即“空隙”，這種性質(zhì)稱之為“不完備性”。

而為了了解處于這些“空隙”的數(shù)，我們利用第三種“有理數(shù)分劃”定義了“無理數(shù)”，“有理數(shù)”和“無理數(shù)”合稱為“實數(shù)”，為了確定，引入“無理數(shù)”之后，不再存在其他“空隙”，書中引入了“實數(shù)分劃”的概念——

“實數(shù)分劃”的定義，簡要敘述為：

1. “實數(shù)分劃”包含兩部分，下組和上組；

2. 上組和下組覆蓋了所有實數(shù)；

3. 下組的任意一個數(shù)都小于上組的任意一個數(shù)，固上下組不含有相同的數(shù)。

由這個定義，我們導(dǎo)出了“實數(shù)的完備性”證明，即證明，任意一個實數(shù)分劃都對應(yīng)一個實數(shù)作為“界數(shù)”——

在書中，“實數(shù)完備性”被定義為——實數(shù)定義的“實數(shù)分劃”只有一種類型，即上組或者下組存在最值，與“有理數(shù)分劃”這個“花心小蘿卜”形成了鮮明對比，“實數(shù)分劃”很專一，不會一邊跟實數(shù)在一起，一邊惦記著其他數(shù)。

對“實數(shù)完備性”的證明，因為我們此刻還不真正了解“實數(shù)分劃”的性質(zhì)，所以我們用到了“有理數(shù)分劃”這個熟悉的工具，在數(shù)學(xué)中這種證明思路被稱為“化歸思想”——即把不熟悉的命題轉(zhuǎn)化為熟悉的命題進(jìn)行研究，比如，用“n位近似”的方法將“無盡小數(shù)”轉(zhuǎn)化為“有盡小數(shù)”研究，或者，在之后許多關(guān)于“函數(shù)極限”的性質(zhì)中，是從“數(shù)列極限”角度來研究的，這些我們以后再說，先聊“實數(shù)完備性”的證明：

用反證法——

1. 因為“實數(shù)分劃”上下組覆蓋了所有實數(shù)，所有上下組覆蓋了所有有理數(shù)；

2. “實數(shù)分劃”下組所有數(shù)都小于上組任意數(shù)，所以“實數(shù)分劃”下組有理數(shù)小于上組有理數(shù)；

3. 由1、2得到一個“有理數(shù)分劃”——下組所有數(shù)全都屬于“實數(shù)分劃”的下組，上組所有數(shù)全都屬于“實數(shù)分劃”的上組，“有理數(shù)分劃”必然存在一個界數(shù)a——有理數(shù)或者無理數(shù)，都是實數(shù)；

4. 假如a屬于“實數(shù)分劃”的下組，并且它不是最大值，也就是說，在這個“實數(shù)分劃”的下組有比它更大的實數(shù)，我們記作b；

5. 由實數(shù)的“強(qiáng)稠密性”，在a和b之間必然存在新的有理數(shù)c，因為c比a大，所以c屬于a確定的“有理數(shù)分劃”的上組，然而，由3可知，因為c屬于“實數(shù)分劃”的下組，所以c屬于a確定的“有理數(shù)分劃”的下組，導(dǎo)出矛盾，所以a屬于“實數(shù)分劃”下組時，必為最大值；

6. 同理，a屬于“實數(shù)分劃”上組時，必為最小值。

由此，我們證明了“實數(shù)完備性”。

（“實數(shù)完備性/連續(xù)性”也是在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》課程中遇到的第一個重要的概念，以此為起點，導(dǎo)出的“實數(shù)連續(xù)性的六個定理”的相互推導(dǎo)，曾幾何時是“北大數(shù)學(xué)系考研”連續(xù)幾年《數(shù)學(xué)分析》的必出題，當(dāng)然近幾年改成了各種“介值定理”的證明，按照這個趨勢，過幾年估計會出“勒貝格定理”的證明，當(dāng)然這道題往往是卷子上的送分題，老碧一個學(xué)酥就不逼逼太多了，簡言之，就是，“實數(shù)的完備性”部分是數(shù)學(xué)系第一個要下功夫的學(xué)習(xí)重點。）

今天就說到這里，明天我們繼續(xù)！