BV1tV411b7QJ

令f（x）＝1/x2-log（n+1）（x^n)-（n2+3n）

n∈Z*

1＞0

即n2+3n+1＞n2+3n

即（n+1）2+n＞n2+3n

即（n+1）2-nlog（n+1）（1/（n+1)）＞n2+3n

即1/（1/（n+1）2)-log（n+1）（1/（n+1)^n）

-（n2+3n)＞0

即f（1/（n+1)）＞0

log（n+1）（n）＜1

即log（n+1）（n）＜3

即n2+nlog（n+1）（n）＜n2+3n

即n2-nlog（n+1）（1/n）＜n2+3n

即1/（1/n)2-log（n+1）（1/n）^n-（n2+3n)

＜0

即f（1/n）＜0

又f（x）單減且連續(xù)

即函數(shù)有唯一零點(diǎn)xn

且1/（n+1）＜xn＜1/n

即n/2＜1/（2xn)＜（n+1）/2

即an=n/2（n為偶數(shù)）

an=（n-1）/2（n為奇數(shù)）

即a（2n）=n

a（2n-1）=n-1

即a（2n-1）+a（2n）=2n-1，n∈N*

即數(shù)列{a（2n-1）+a（2n）}

為首項(xiàng)為1

公差為2的等差數(shù)列

令其前n項(xiàng)和為Tn

有Tn=n2

即原式

=√T（1010)=1010