? ? ???這竟如此的讓人錯(cuò)愕，高中直至大學(xué)困在我腦海里的一系列問題，居然以一種不可思議的方式聯(lián)系到了一起，就像是遠(yuǎn)在地球另一邊的陌生人踢了一次足球居然是我解決失戀的關(guān)鍵因素，這或許就是對馬原中“萬事都有聯(lián)系”的最好闡述吧。什么樣的東西居然能把“什么是數(shù)字”、“求自然數(shù)平方和”、“體積公式與面積公式”、“復(fù)合函數(shù)”、“量子力學(xué)量子化的原因”、“微積分中的積分”“求和符號Σ”等問題穿在一條絲線上？這一次，讓我們從高等數(shù)學(xué)以及量子力學(xué)的角度出發(fā)，前往一個(gè)全新的高度

從一個(gè)小小的引例開始，讀者可以花上3分鐘思考，或者花一天去求解更好，學(xué)習(xí)能夠讓人的心靈更加深邃，喝酒可不會~o(〃'▽'〃)o

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 自然數(shù)求和的種子

? ? ???在我讀高中的時(shí)候，我的好朋友凱凱給了我這道題目，他告訴我這個(gè)可以化簡成一個(gè)公式，不要百度，只能用幾張紙和筆算，然后壞笑著離開了。當(dāng)時(shí)誰也不知道這會是一顆小種子，種在了我的數(shù)學(xué)學(xué)科里，最后會長成一顆結(jié)毒果子的樹。

? ??? ?這個(gè)問題當(dāng)時(shí)我沒有想出來，兩天晚自習(xí)我都在想辦法算這個(gè)，當(dāng)時(shí)我的物理老師說我是浪費(fèi)時(shí)間，“不務(wù)正業(yè)”。確實(shí)是這樣，我的數(shù)學(xué)高考考的很差，因?yàn)槲易哌M(jìn)到了高中生不該去的“禁地”并且無法逃脫出來（不過現(xiàn)在看來，到了大學(xué)該不該進(jìn)也是一個(gè)問題），滿腦子都是這個(gè)問題引發(fā)的一系列問題。

? ? ? ? 因?yàn)楫?dāng)時(shí)沒用手機(jī)，所以全程都是一張紙推算這個(gè)，之后上網(wǎng)搜找到了4種以上的方法推導(dǎo)這個(gè)求和公式。有趣的是，我的方式是其中一種的變種，注意“變種”這個(gè)詞，如果我的想法和前人一樣我就不會走歪了，我是目前唯一一個(gè)這樣歪著走的人，這導(dǎo)致了之后的一連串事情，所以這一部分標(biāo)題叫種子。其中最好理解的推導(dǎo)過程是用幾何思想。

? ? ? ? 我試著把這個(gè)問題抽象成幾何問題，每個(gè)正方體邊長是一個(gè)單位

于是接下來一下就柳暗花明了，我把它們疊在一起

然后，我就開始走歪了，一頭扎進(jìn)了那個(gè)可怕的深淵。先繼續(xù)正常求解步驟

然后對這個(gè)“正方體”稍作一些處理

答案如圖中所示

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 萌發(fā)

多么精妙的證明啊

再看好兄弟我的證明吧

接著第二步，我得到了這個(gè)物體，在我眼里它是非常不好看的，就像沒有提公因式的式子一樣

于是我把它的每一層都往中間挪動(dòng)，變得更規(guī)則一點(diǎn)

? ? ? ?可能有人看圖就已經(jīng)知道我要干嘛了，我化出來的是圖的下半部分，顯然不是圖的上半部分。因?yàn)榇藭r(shí)的每個(gè)正方體邊長都是一個(gè)單位，就可以把這個(gè)正方體抽象成1，也就是說抽象成平滑的東西，可連續(xù)的東西，就變成了求四棱錐的體積問題。到這先暫停一下，我相信各位在這個(gè)地方都有很多問題要問我，我們先看看情況。

? ? ??這個(gè)金字塔的底的邊長是n個(gè)1，那我直接代入四棱錐體積公式1/3??s??h

求和 ? ?? ?? ? ? ? ? ??為1/3 乘??n ? ??乘? ? ?n ? ?? 乘n

再看真實(shí)答案????為1/3?乘?n+1 ?乘?n+0.5 ?乘n

這個(gè)答案居然是如此的接近，讓我開始懷疑人生，（要是錯(cuò)的一塌糊涂就不會讓我難受了）我無法判斷我想的到底是對還是錯(cuò)。

? ? ?這個(gè)問題的關(guān)鍵其實(shí)是：

? ? ?1.圖中的金字塔的下半部分每個(gè)正方體代表的是1嗎？

? ? ?2.圖中上半部分分割開出來的每部分能代表1嗎？

? ? ?3.如果能那我用一個(gè)球去代表1可以嗎？算的出公式嗎？

? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?爆炸

? ? ??只要上圖里的每個(gè)正方體就是1，那推導(dǎo)過程就是對的，只要圖里的上半部分的每一份子也能代表1，那我就是有可能對的。

? ? ? ?數(shù)字“1”到底代表了什么？1?1＝2誰都知道，那1是多大呢？！你們有沒有思考過這個(gè)問題？你能告訴我1有多大嗎？如果能那1是什么呢？（數(shù)都是由1構(gòu)成的，只需要想明白1是什么就行了。比如22就是22個(gè)1）

? ? ??

? ? ??我開始糾結(jié)什么是數(shù)。這顆種子在我高中生涯不斷成長，最終在我的腦海里結(jié)出了苦澀的果子。

? ? ? ?明顯不太對勁啊，但是我又說不出來哪里不對勁，以至于高中和很多人表達(dá)這個(gè)的時(shí)候我都是無法描述的。圖的上下部分應(yīng)該是一樣的，因?yàn)檎`差不大說明只是缺少一個(gè)修正因子來重正化。1應(yīng)該可以是任何樣子的?????

? ? ? ?所以我們完全可以把這些底層的一個(gè)單位取成任何需要的大小，比如我把自然數(shù)平方求和里的每一塊正方體抽象成1個(gè)單位，那我就可以把它當(dāng)作一個(gè)

? ? ??其實(shí)更早之前我就已經(jīng)糾結(jié)過類似的問題了，現(xiàn)在一想，如果不是這片“土地”有問題，那我也沒有機(jī)會結(jié)出這種奇怪的果子，而且真的是萬事都有聯(lián)系。讓我們把時(shí)間往前調(diào)十幾年看看。

? ? ? ??我還在讀小學(xué)，老師教了我一個(gè)公式，這個(gè)也許是人生學(xué)的第一個(gè)公式吧———矩形的面積公式。就是很簡單的長??寬，這有啥好說的呢？你們還記不記得我們有用過格子本本畫過圖形，畫三角形平行四邊形什么的，然后老師問我們怎么求他們的體積。

圖

我數(shù)了一下底邊有幾個(gè)格子，然后代入公式計(jì)算了，這這這這不對吧？公式是底??高，明顯是拿邊??邊呀，我這是拿面積??面積啊，為什么要拿這一串矩形代表邊呢？請注意這是升維行為，放到三體里你都是嘎嘎亂殺的文明。而我只是每次數(shù)格子的時(shí)候會頭疼一下，然后就跑去玩了不管了。

圖

數(shù)線段我就一點(diǎn)也不頭疼

? ? ?? ?結(jié)束閃回，在高中的時(shí)候，很常用到高斯求和，這個(gè)公式有一個(gè)簡便的記憶方法，我不記得是從哪里學(xué)來的了，現(xiàn)在你們還記得嗎(●'?'●)

?????1+2+3+4+……+?n?=?n (n+1) /2

? ? ? ? 有一位高手教我，這就是梯形的面積，上底?下底的和??高?2，如上圖所示。

? ? ? ?咦？這東西怎么又來了怎么和金字塔那個(gè)問題這么像，這個(gè)東西是梯形嗎？那怎么用梯形面積算呢？是巧合嗎？那為什么金字塔問題也一樣呢？這怎么陰魂不散(?ò?ó)我每背這個(gè)公式一次我就會頭疼一次。

? ? ? ? 這一切東西都攪在一起，我的小腦袋是徹底無法好好運(yùn)轉(zhuǎn)了，別人還在上大分，我在這算1+1，最后，我的高考數(shù)學(xué)還沒及格，這就是毒果子，這就是每個(gè)老師都罵我并且都警告我的禁地，這就是我的下場。我也接受了事實(shí)，因?yàn)槲也荒芟袢魏稳俗C明我的想法，我感覺這一切關(guān)于數(shù)學(xué)的都有問題。當(dāng)時(shí)找周大師我也沒能向他表達(dá)出來我的想法，實(shí)在是抽象。

? ? ?

但......

事實(shí)真的是這樣嗎？

?

這么離譜的東西有可能是對的嗎？

代入金字塔的思想，上圖的那個(gè)東西能當(dāng)做三角形然后數(shù)格子算面積嗎？

所有東西我可以任意改變它的形狀然后算我需要的東西嗎？金字塔可以當(dāng)四棱錐求體積嗎？

答案是：還真能。

?

? ? ? ?金字塔變成四棱錐，之前圖中的幾個(gè)格子變成了梯形或者三角形，但是我們很難接受那樣的東西是四棱錐或是梯形，但是它們算出來都是特別特別接近真實(shí)答案的，這就讓我無法確定真相是什么樣的，為什么會有這個(gè)誤差，把世界轉(zhuǎn)化成粗糙的模型為什么會剛好差了那么一點(diǎn)而不是完全錯(cuò)誤呢？。

? ? ??

? ? ? ? ? ?

? ? ??最終我的的結(jié)論就是，數(shù)學(xué)世界既可以粗糙也可以平滑，但是我不敢肯定也找不到支持的證據(jù)。因?yàn)槲业谋磉_(dá)水平有限，我也很難把這一段抽象的想法精準(zhǔn)的分享給大家，還請見諒

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 量子力學(xué)的詭秘

? ? ? 前面可能讓人有點(diǎn)頭疼，我整個(gè)高中一直都沒弄明白，我只感覺我可能錯(cuò)了，似乎有哪里不對勁。就像標(biāo)題里的：我“失戀了”，我再也不去想這個(gè)問題了。如果不是周大師，我可能一輩子都弄不清楚，背公式的時(shí)候繼續(xù)頭疼。讓我們換一個(gè)地方，輕松愉悅一下，去“地球的另一邊踢足球”看看，去一個(gè)和這幾個(gè)數(shù)學(xué)問題“毫無聯(lián)系”的地方。

? ? ? ?眾所周知，量子力學(xué)跟玄學(xué)一樣玄，著名的幾個(gè)特性便是“不連續(xù)”和“不確定性”，這兩兄弟每一個(gè)都很離譜，現(xiàn)在再不了解等以后短視頻介紹的時(shí)候就晚了呀！

? ? ? ? 有個(gè)好玩直觀的關(guān)于不連續(xù)的比喻，世界上存在這樣一種樓梯，只有一階二階三階n階，卻沒有分?jǐn)?shù)階，過了第一階就是第二階，你可能還沒意識到事情的嚴(yán)重性，你從第一階向上走，只能到達(dá)第二階而不能到達(dá)兩階臺階的中間，人不就是從第一階緩緩抬高變成第二階嗎？但是這種樓梯就不能連續(xù)的抬上去，你一抬腳就是第二階，你無法處于兩階樓梯的中間。就像玩游戲卡了一樣，你在不同樓梯臺階上走，卻不能有連續(xù)的動(dòng)作。還有一種比喻就是1和2之間沒有數(shù)字，過了1就是2，沒有1.5。電子在自己的軌道上圍繞原子核運(yùn)行，如果發(fā)生量子躍遷，就直接“閃爍”到那個(gè)軌道上去，注意閃爍這個(gè)詞，可謂是毫無夸張成分，它就是瞬間過去的，不是走某條路過去的，這就是量子躍遷。

? ??? ?而能量的傳遞，也是一段一段的，就像給你倒水必須1升1升的倒，不能倒出其他值來，動(dòng)量也是量子化的，想想我的世界，你倒水或者傳遞能量倒出的是一堆一樣大的小方塊，好粗糙啊可惡（悄悄地暗示：就像10個(gè)1一樣）

? ? ? ? 不如一個(gè)現(xiàn)象說明得直觀，這次直接來個(gè)極簡版

? ? ???沒錯(cuò)這就是愛因斯坦研究的那個(gè)光電效應(yīng)，愛因斯坦是因?yàn)檫@個(gè)的研究拿了諾貝爾獎(jiǎng)，而不是因?yàn)橄鄬φ摰难芯浚蓯喊。：唵蔚闹v就是電筒照上去了，會有金屬粒子吸收能量，然后丟出電子，金屬我呀太熱了就要脫衣服(●'?'●)。但是奇怪的現(xiàn)象就是，如果你換了一塊“耐熱的”金屬，你用圖中這個(gè)手電筒照是不會射出電子的，那你拿10萬個(gè)手電筒都不會讓這個(gè)金屬脫衣服的，屬屬我呀就是不脫(●'?'●)，但是此時(shí)你只要找個(gè)更亮的電筒，金屬立刻會丟出電子，就算你只用一個(gè)手電筒照，金屬一樣會“熱”。

? ? ? ?量子力學(xué)的世界變成了一段一段的，和現(xiàn)實(shí)世界截然不同，無論你是否相信，但是這就是一條無法改變的事實(shí)，寫進(jìn)教科書里的內(nèi)容。在量子力學(xué)中，世界就是不連續(xù)的

? ??? ?而不確定性，則是導(dǎo)致了這個(gè)世界變得如此唯心的原因，具體的解釋我想下次多花點(diǎn)時(shí)間來寫。

? ? ?? 以下部分，是基于我最喜歡的zzc大師的指導(dǎo)，他是量子力學(xué)高手，頂級大學(xué)里的哲學(xué)家一枚

(●'?'●)

? ? ? 我作為外行人，我只知道這些表面的現(xiàn)象，只是覺得詫異，而zzc已經(jīng)深入學(xué)習(xí)了其中的奧秘。不連續(xù)這種現(xiàn)象被稱為量子化，至于為什么會量子化的原因我一直不知道，終于，在上個(gè)暑假z大師給我解惑了。

微觀粒子還是以量子態(tài)的形式存在

而量子態(tài)是一種概率波

如果在無限大的空間，沒有任何阻礙的話

概率波是無限延伸且不會量子化的

就像平面波一樣

但是現(xiàn)實(shí)生活中不可能有這種無限延伸的空間

就像房子會有墻壁一樣

這種墻壁會導(dǎo)致波函數(shù)在房間內(nèi)部發(fā)生振蕩

這些震蕩根據(jù)波動(dòng)原理就會形成駐波

而駐波就是具有量子化的特點(diǎn)

? ? ? 雖然很復(fù)雜，但是沒有但是，這已經(jīng)是最好理解的說法了，我們可以看一看書，結(jié)合一下理解（周大師的字是真不錯(cuò)）

可以只看紅色圈起來的部分，第一行是碰到邊界必須發(fā)生的事情，sinka=0，故有k=nπ/a，n必須取整數(shù)，才能使sinka=0，用z大師的原話就是，數(shù)學(xué)算式逼迫我們不得不量子化，不得不把n取整數(shù)1 2 3 ...n，而不能取0.5，必須不連續(xù)，這是經(jīng)典的情理之中卻又在意料之外，用哥本哈根學(xué)派（量子力學(xué)學(xué)派）的原話：閉嘴，別問，算就完了！

? ? ? ?我們自己打開了潘多拉的魔盒，卻沒人知道底層的秘密。要承認(rèn)數(shù)學(xué)是對的，就必須承認(rèn)量子化的存在，然而，那天我和z大師談話并沒有那么簡單，他讓我學(xué)會了量子化這種思想，看見什么都想量子化一下，最近我剛好學(xué)完積分，這讓我我突然意識到，要不咱把積分也量子化一下？

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∫和Σ

? ? ??

? ? ?

我們來看看∫的意義

我們只需要把圖中的△x取趨于無窮小，對應(yīng)的曲邊梯形也就無窮接近于一個(gè)長方形，那么把這些長方形面積加起來就是這個(gè)曲邊圖形的面積

即底乘以高乘以個(gè)數(shù)

∫??f（x）dx=面積

這里dx=△x

注意，這個(gè)地方是無窮細(xì)分下去的，也就是說這個(gè)長方形的底邊是接近于0的，要多精細(xì)有多精細(xì)，而長方形的高就是我們函數(shù)在x那點(diǎn)的值f（x），就像是把每圖片里的曲線和x軸圍成的圖形的面積變成了一條一條的豎直線加起來，并且是無數(shù)條線，那我們說我們的結(jié)果百分百=面積是毫不夸張的。類似的我們還能用這種方式把圓的面積給積出來，再逆向求π值，于是得到了一個(gè)百分百精確的真實(shí)π值。積分很準(zhǔn)確，也很連續(xù)，也很合理。

? ? ? 可是，我們聯(lián)系一下Σ，就會發(fā)現(xiàn)，那西格瑪求和不也是這樣的嗎？

?ps：??Σ?i=1 ，上限為n ??i2=12+22+32+42+.....+n2

長方形底邊是1，高是i2，如圖

這簡直和積分思想是親兄弟，Σ也求出了真實(shí)面積

有幾個(gè)特殊的不一樣的地方：長方形數(shù)量很少，是有限的，底邊也很長（看起來很粗糙），并且不連續(xù)，你要是學(xué)積分那樣無限劃分長方形在第一個(gè)長方形和第二個(gè)長方形中間加一個(gè)高為1.5的長方形就錯(cuò)了，請注意高度過了1就是2，沒有1.5這個(gè)高度。（強(qiáng)烈暗示）

? ? ? ??我那時(shí)終于明白Σ也是積分，是一種特殊的積分，是一種量子化了的積分，把微元dx擴(kuò)大到了整數(shù)1，也就是說，Σ就是積分量子化了的例子！把積分域分成了一段一段的，這也正是不連續(xù)的，Σ就是數(shù)學(xué)中的一位“異類”！這再次告訴我，量子化和連續(xù)化都是對的！那這不就是我之前思考的問題的答案嗎！??！那一天我?guī)缀踉谥艽髱熋媲按蠛按蠼辛?/p>

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?尾聲

? ? ? 簡直是暢快，一切在那一刻全部聯(lián)系起來，編織成一條漂亮的絲帶，永遠(yuǎn)的系在了我的心中，那幾個(gè)冥冥之中與我有仇的問題終于浮出水面，我以為我走向了禁地，沒想到是一條全新全異的路，并且通往真理。世界既是連續(xù)的也是不連續(xù)的，倒不如說世界的本質(zhì)是那樣一直沒變過，而我們可以選擇兩種方式來看待，一個(gè)是連續(xù)化，一個(gè)是量子化，兩者都等價(jià)，但卻“截然不同”，這和物質(zhì)既是波也是粒子還挺像，截然不同卻又同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)載體上。連續(xù)化就是充滿了無限細(xì)分的細(xì)節(jié)，從1到2有無數(shù)個(gè)中間站，

正如面積公式體積公式那樣。比如長乘以寬：長是無數(shù)個(gè)細(xì)分的△y，寬是無數(shù)個(gè)細(xì)分的△x，它們進(jìn)行乘法運(yùn)算，得到的面積，要像積分一樣，也就是∞個(gè)△x乘以∞個(gè)△y。

但是，我們也偶爾可以量子化一下，不取無窮小，比如此時(shí)的格子，我們?nèi)∽钚橐桓?，我們同樣可以?shù)格子直接乘出面積。前面提到的金字塔，就是我們對四棱錐的量子化，最小單位變成了一個(gè)正方體，而不是可以無限細(xì)分，而自然數(shù)求和的那個(gè)格子，就是梯形的量子化（或者對三角形），之所以產(chǎn)生誤差，是因?yàn)槲覜]有改變“”域”，量子化的關(guān)鍵就是在于我們會改變“域”，世界最基礎(chǔ)最核心的地方在于復(fù)合，我們把一切東西都可以像程序一樣打包起來，提供給別人，別人可以忽略所有這些內(nèi)層的東西，我們只需要提供一個(gè)域給外層（接口），就能等價(jià)復(fù)合。而我們要把金字塔當(dāng)做四棱錐，就是一種復(fù)合，給外界提供的是四棱錐，那域就必須要對應(yīng)的改變，當(dāng)時(shí)我沒有改變，如果改變了四棱錐的底面的長和高，那么得到的就是真實(shí)答案。量子化和連續(xù)化都是復(fù)合的一種手段，也許是全部手段。最后的結(jié)論很簡單，許多人也都明白這個(gè)道理，但是這個(gè)看似小小的道理卻給我?guī)砣绱硕嗟恼鸷场?/p>

? ? ?所以說自然數(shù)求和公式推理那部分，我走的是量子化的積分思想，也就是Σ這條路，但是沒有精確算出Σ的上域和下域，導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果出錯(cuò)，只需要挑選出簡單的量子化思路且把域計(jì)算好就能非?？旖莸慕鉀Q很多問題。

? ? ?

? ? ? ? 有一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔鳎忝媲坝幸粭l河流，河流本身是連續(xù)不斷的，由無數(shù)個(gè)微元積分出完整的河流，但是我們研究河流的方式是選擇將其量子化，分成一段一段的河流，每一段取多大都可以，對我們研究的幫助也不一樣，你要研究流向你就量子化分段看，你要研究水質(zhì)問題你就選每一滴水（相當(dāng)于連續(xù)化，把微元取無線?。?。所以連續(xù)應(yīng)該是自然界的一種本質(zhì)，而量子化是我們研究自然界的一種工具，這樣的體系下更加簡便，我可以直接用四棱錐體積，梯形面積等來解決復(fù)雜問題。

?

? 數(shù)學(xué)里一切都能用1表示，這代表的是一切都能微積分，1就是那個(gè)微元，微元能組成一切。

? ??那我把現(xiàn)在的“1”的大小改變呢？也可以，微元的大小能改變，要調(diào)整域。我可以選1/3當(dāng)做一個(gè)單位（一個(gè)新的1，一個(gè)新的微元?。桥f版的1就是剛好三個(gè)單位

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1=3個(gè)單位

? ? ? ?把1/2當(dāng)做一個(gè)單位，舊版的1就是兩個(gè)單位了

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1=2個(gè)單位

? ? ? ? ok，新建立出來的這套數(shù)學(xué)就叫fe數(shù)學(xué)吧，在這個(gè)1的大小被改變的數(shù)學(xué)世界中任何公式還是一樣適用，完全沒問題（公式??2或者??3就行了）。那么有人會問了，這不是閑著沒事干嘛？

? ? ? ?———那恰好證明“1”是什么都一樣。

注意“什么”這個(gè)詞，還記得三維的正方體或者球體，二維的正方形，一維的點(diǎn)也能代表“1”嗎，甚至是我的手的形狀都可以代表。

覺得寫的不錯(cuò)點(diǎn)個(gè)贊喲