一、二次函數(shù)的定義和表達(dá)形式

1、定義：

一般地，我們把函數(shù)表達(dá)式可以化簡成y=ax^2+bx+c(a≠0且a、b、c為常數(shù)）這樣的形式的函數(shù)叫做二次函數(shù)。

例如：y=x^2+2x-1、y=(x-2)^2-1、y=(x-2)(x-1)等等。

2、表達(dá)形式：

①一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0且a、b、c為常數(shù)）。

②頂點式：y=a（x-m）^2+n(a≠0且a、m、n為常數(shù)）

③交點式：y=a(x-e)(x-f)(a≠0且a、e、f為常數(shù)）

【說明：只要二次函數(shù)圖象與x軸有交點，即，一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且a、b、c為常數(shù)）有根，都能化成這樣的形式】

二、二次函數(shù)的圖象

1、觀察二次函數(shù)的圖象：（像這樣的函數(shù)曲線叫做拋物線，它的對稱軸與它的交點叫做頂點。我們一般采用描點作圖法，具體步驟如下：就是找到幾個相對于簡單的點，橫坐標(biāo)對縱坐標(biāo)，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出點，最后用光滑的曲線連接。）

我們可以發(fā)現(xiàn)：

①二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0且a、b、c為常數(shù)）的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標(biāo)（-b/2a，4ac-b^2/4a），當(dāng)x=-b/2a時，y最小/最大=4ac-b^2/4a。

②它的自變量x的取值范圍是x為全體實數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍是y≥4ac-b^2/4a或者y≤4ac-b^2/4a（視具體情況而定）。

③當(dāng)a＞0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點；當(dāng)a＜0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線的最高點。

④它與x軸的交點有三種情況：

（1）△=b^2-4ac=0，它與x軸僅有一個交點，坐標(biāo)為（4ac-b^2/4a，0）。

（2）△=b^2-4ac＞0，它與x軸有兩個交點，兩根和為-b/a,兩根積為c/a，兩交點的距離為√△/|a|，證明如下：設(shè)兩交點為（x1,0）、（x2,0）。

(x1+x2）^2=b^2/a^2,x1x2=c/a，|x1-x2|=√（x1-x2）^2=√b^2/a^2-4c/a=√△/|a|。

（3）△=b^2-4ac＜0，它與x軸沒有交點，函數(shù)值y恒大于0或者恒小于0。

⑤當(dāng)|a|越大，拋物線的開口越小；當(dāng)|a|越小，拋物線的開口越大。

三、二次函數(shù)的性質(zhì)和平移

1、函數(shù)的性質(zhì)：

①二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a＞0且a、b、c為常數(shù)），當(dāng)x≤-b/2a時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x≥-b/2a時，y隨著x的增大而增大。

②二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a＜0且a、b、c為常數(shù)），當(dāng)x≤-b/2a時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x≥-b/2a時，y隨著x的增大而減小。

2、函數(shù)的平移：

左右平移：（左加右減）+上下平移：（上加下減）

設(shè)二次函數(shù)y=a（x-m）^2+n(a、m、n≠0且a、m、n為常數(shù)），

它可以是由二次函數(shù)y=ax^2（a≠0且a為常數(shù)）向左平移（m＜0）或者向右（m＞0）|m|個單位，在向上平移n(n＞0）或者向下（n＜0）|n|個單位。

四、利用二次函數(shù)解決問題

注意：審清題意，明確目的，知曉本質(zhì)。運用二次函數(shù)圖象求實際問題時，先考慮自變量x的取值范圍、函數(shù)值y的范圍與實際所表示的意義，再來具體情況具體分析。