? ? ? ?

? ? ? ?拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（LCS，Lagrangian Coherent Structure）方法是一種采用了動(dòng)力系統(tǒng)幾何視角的擬序結(jié)構(gòu)探測(cè)方法。從概念上講，拉格朗日框架中的相干結(jié)構(gòu)是一組相似的軌跡，即在任何慣性參考系中共同運(yùn)動(dòng)一段較長(zhǎng)時(shí)間的軌跡。顯式地或通過(guò)定義集合邊界來(lái)明確定義滿足這一準(zhǔn)則的初始條件集合的方法，很大程度上依賴于研究由漸近時(shí)間特性定義的不變流形的幾何形狀，早期研究者還采用類比的方法假設(shè)真實(shí)流動(dòng)中可能存在某種動(dòng)力系統(tǒng)理論預(yù)測(cè)的理想結(jié)構(gòu)（如鞍點(diǎn)、焦點(diǎn)和環(huán)面等）并加以分析。拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)理論[1]識(shí)別了在復(fù)雜流動(dòng)中組織物質(zhì)運(yùn)輸?shù)奶厥饨Y(jié)構(gòu)，它可以幫助量化物質(zhì)運(yùn)輸，預(yù)測(cè)甚至影響大尺度流動(dòng)特征或流體混合。最初，LCS與有限時(shí)間李亞普諾夫指數(shù)場(chǎng)（FTLE，Finite Time Lyapunov Exponent）的計(jì)算緊密相關(guān)[2]；最近，LCS已經(jīng)采用變分原理[3]被重新公式化，將它們定義為流體流動(dòng)引起的局部變形場(chǎng)的相應(yīng)測(cè)地線。這種新的定義允許根據(jù)變形類型（例如雙曲型，橢圓型），依據(jù)流動(dòng)中流體粒子的不同行為，在二維和三維情況下對(duì)LCS進(jìn)行更精細(xì)的分類。Haller[4]最近的綜述詳細(xì)介紹了LCS理論中的最新技術(shù)。

? ? ? ?LCS技術(shù)最早應(yīng)用在海洋洋流的研究當(dāng)中，但漸漸地也被研究者應(yīng)用于失速翼型的空氣動(dòng)力學(xué)問(wèn)題當(dāng)中。Shadden等[2]研究了翼型上振蕩流動(dòng)的LCS結(jié)構(gòu)，表明吸引的拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（attracting LCS）可以十分準(zhǔn)確地描述翼型的分離情況，然而他的研究沒(méi)有關(guān)注渦脫落問(wèn)題。Cardwell等[5]在此基礎(chǔ)上，研究了失速翼型上的渦脫落問(wèn)題，表明LCS確定的不變流形可以幫助確定渦核的位置、渦的邊界以及在何時(shí)何處流體粒子被卷吸到渦核內(nèi)；另外，LCS還可顯示渦系之間的連接。Cardwell等[6]又利用不穩(wěn)定流形和穩(wěn)定流形將翼型脫落后的渦分成具有不同粒子混合行為的區(qū)域，并通過(guò)追溯不同區(qū)域粒子運(yùn)動(dòng)，分析了失速翼型渦脫落時(shí)粒子的來(lái)源。其中穩(wěn)定流形為排斥的拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（repelling LCS），可以由FTLE場(chǎng)的脊來(lái)估計(jì)；而不穩(wěn)定流形即attracting LCS，可以從向后反推的流場(chǎng)速度序列求解FTLE場(chǎng)得到。而Eldredge等人[7]研究了低雷諾數(shù)下振蕩橢圓翼型的流場(chǎng)擬序結(jié)構(gòu)，表示attracting LCS看起來(lái)類似脈線的結(jié)構(gòu)，符合對(duì)渦系的直覺(jué)想象，但是repelling LCS則比較反直覺(jué)；他們的研究表明，repelling LCS包含了許多分布在翼型上游的葉狀結(jié)構(gòu)，它們都與相應(yīng)的尾跡渦系結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)，并會(huì)將流體卷吸到相應(yīng)的渦系當(dāng)中。Huang等人[8]則使用歐拉視角的各種方法和LCS方法分析了上仰平板的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)，并表明LCS確定的鞍點(diǎn)（attracting LCS和repelling LCS的交點(diǎn)）有幫助確定渦系生長(zhǎng)、脫落和破裂的關(guān)鍵時(shí)間節(jié)點(diǎn)和位置的潛力。而在對(duì)動(dòng)態(tài)失速問(wèn)題的研究中，Mulleners等人[9]利用實(shí)驗(yàn)采集到的數(shù)據(jù)計(jì)算LCS結(jié)構(gòu)，也表明LCS確定的鞍點(diǎn)可能標(biāo)志了渦從邊界層中的脫離，同時(shí)他們結(jié)合本征正交分解（POD, Proper Orthogonal Decomposition）分析了發(fā)生動(dòng)態(tài)失速現(xiàn)象的時(shí)間節(jié)點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1]??? Haller G. An objective definition of a vortex[J]. Journal of fluid mechanics, 2005, 525: 1-26.

[2]??? Shadden S C, Lekien F, Marsden J E. Definition and properties of Lagrangian coherent structures from finite-time Lyapunov exponents in two-dimensional aperiodic flows[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2005, 212(3-4): 271-304.

[3]??? Haller G. A variational theory of hyperbolic Lagrangian coherent structures[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2011, 240(7): 574-598.

[4]??? Haller G. Lagrangian coherent structures[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 2015, 47: 137-162.

[5]??? Cardwell B, Mohseni K. Lagrangian Coherent Structures in the Wake of an Airfoil[C]//AIAA Infotech@ Aerospace 2007 Conference and Exhibit. 2007: 2771.

[6]??? Cardwell B M, Mohseni K. Vortex shedding over a two-dimensional airfoil: Where the particles come from[J]. AIAA journal, 2008, 46(3): 545-547.

[7]??? Eldredge J D, Chong K. Fluid transport and coherent structures of translating and flapping wings[J]. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2010, 20(1): 017509.

[8]??? Huang Y, Green M A. Detection and tracking of vortex phenomena using Lagrangian coherent structures[J]. Experiments in Fluids, 2015, 56(7): 147.

[9]??? Mulleners K, Raffel M. The onset of dynamic stall revisited[J]. Experiments in fluids, 2012, 52(3): 779-793.