【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學(xué)”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認為《微積分初步》這本書對“準大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第一章一元一次方程和可以化為一元一次方程的分式方程

§1-1等式

【01】在代數(shù)第一冊里，我們已經(jīng)學(xué)過代數(shù)式。我們知道，用運算符號把由數(shù)字或者字母表示的數(shù)連結(jié)起來所得的式子，叫做代數(shù)式。例如，?等。我們還知道，單獨的一個用數(shù)字或者字母表示的數(shù)，例如，x，a，3，5.4 等，也可以看做是代數(shù)式。

【02】用等號連結(jié)兩個代數(shù)式所成的式子，叫做等式。例如，m＋2m＝3m；；(a＋b)(a－b)＝a2－b2；a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；x－5＝8；x2＝9 等都是等式。

【03】在等式里，等號左邊的代數(shù)式，叫做左邊；等號右邊的代數(shù)式，叫做右邊。例如，在等式?m＋2m＝3m?里，左邊是?m＋2m，右邊是?3m? 。

【04】我們來看上面的幾個等式。在等式?m＋2m＝3m?里，不論?m?等于任何數(shù)值，左邊和右邊的值總是相等的。

【05】等式?(a＋b)(a－b)＝a2－b2?是代數(shù)第一冊里已經(jīng)學(xué)過的乘法公式，它是多項式乘法的結(jié)果，不論?a?和?b?等于任何數(shù)值，左邊和右邊的值總是相等的。例如，當 a＝，b＝0 時，左邊等于，右邊也等于? 。

【06】等式?a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)?是因式分解中常用的一個立方和公式，不論?a?和?b?等于任何數(shù)值，左邊和右邊的值也總是相等的。

【07】等式?，這是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，從約分所得的結(jié)果。當 x＝0 時，分母 2x 等于 0，分式?jīng)]有意義，所以 x 的數(shù)值不允許等于0? 。但是除了 x＝0 時分式?jīng)]有意義以外，不論 x 等于其他任何數(shù)值，左邊的值總是等于右邊的值。

【08】這就是說，在上面的四個等式里，不論用任何允許取的數(shù)值代替其中的字母，等式總是成立的。

【09】一個等式，不論用任何允許取的數(shù)值代替其中的字母，它的左右兩邊的值總是相等的，這樣的等式叫做恒等式。例如，上面所講的四個等式都是恒等式。

【10】由數(shù)字組成的等式，也都是恒等式。例如，下面這些等式，都是恒等式：－(7－2)＝－7＋2；(－2)3＝－8；32＋42＝52；(7＋3×2－3)÷2＝4＋1? 。

【11】我們再來看等式 x－5＝8?和?x2＝9? 。在等式?x－5＝8?里，x?并不是可以取任何數(shù)值都能使左右兩邊的值相等。例如，當?x＝1?時，左邊等于－4，而右邊等于?8，兩邊的值就不相等。所以 x－5＝8雖然是等式，但不是恒等式。

【12】同樣，在等式 x2＝9?里，x 也不是可以取任何數(shù)值都能使等式成立。例如，當?x＝－5?時，左邊等于?25，而右邊等于?9，兩邊的值就不相等，所以?x2＝9?也不是恒等式。

例.判別下列等式是不是恒等式：(1) (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(2) 2x＋5＝3x－1? 。

【解】

????????(1)?因為不論?a?和?b?等于任何數(shù)值，左右兩邊的值總相等。所以 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3?是恒等式。

????????(2)?因為 x 并不是取任何數(shù)值都能使左右兩邊的值相等，例如，當 x＝5?時，左邊等于?15，而右邊等于?14，兩邊的值就不相等。所以?2x＋5＝3x－1?不是恒等式。

習題1-1

1、等式和代數(shù)式有什么區(qū)別？舉兩個例子來說明。

2、什么叫做恒等式？舉兩個例子。

3、指出下列等式中，哪些是恒等式？哪些不是恒等式？

(1) 4＋7＝11；

(2) x＋7＝11；

(3) 3x－5＝－2；

(4)－(x－4)＝4－x；

(5) (a－b)2＝a2－2ab＋b2；

(6) x2＝x·x；

(7) (a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3；

(8) x2＝2x；

(9) 9－2x＝x－6；

(10) 3x－y＝1；

(11) x＋y＝y(tǒng)＋x；

(12) x2＋y＝x＋y2；

(13) (x－2)(x＋1)＝x2－x－2；

(14) (x－2)(x＋1)＝0；

(15) x3－y3＝(x－y)(x2＋xy＋y2)；

(16)?x3－y3＝1? 。

【(1)、(4)、(5)、(6)、(7)、(11)、(13)、(15)是恒等式；(2)、(3)、(8)、(9)、(10)、(12)、(14)、(16)不是恒等式】