首先是一元函數的連續(xù)性：

一元函數如果某一點的左右極限不相等，則該點不連續(xù)：

然后是連續(xù)與可導的關系：

但是連續(xù)不一定可導：

上圖的函數是連續(xù)的，但由于左右導數不相等，所以不可導。

再看可導與可微的關系：

從上圖可以看出，只要某一點的導數存在，這一點的微分就存在，所以一元函數的可導性與可微性是一致的。

對于多元函數來說就比較復雜了。

上圖是多元函數連續(xù)可導可微之間的關系圖。圖中的可導是指偏導數存在。

上圖有四組相互之間的關系，下面逐一討論。

第一：函數連續(xù)與可導之間的關系。

函數連續(xù)的定義：

這組關系已經在《從導數的意義理解多元函數的偏導數存在性與連續(xù)性為何無關》一文中詳細討論過，也就是說，多元函數連續(xù)與可導之間互相無關。

關于這個結論得出來的原因，我們大概可以記住下面兩個圖就可以了：

由于多元函數趨近某個點的方向任意性，導致某個函數不連續(xù)但卻在這一點可導。

上面這個圖表示這個圓錐的頂點連續(xù)，但在yoz的截面卻像圖1 一樣沒有導數，說明多元函數連續(xù)不一定可導。

第二：函數連續(xù)與可微之間的關系。

函數可微的定義：

考察函數連續(xù)與可微的關系：

上圖的意思很簡單，微分表達式表示的就是當xoy平面上兩點A,B無限趨近的時候，與之相對應的曲面上兩點的高度變化也趨近于0，而這個結論正好說明函數連續(xù)。

所以可微一定連續(xù)。

由于全微分可以表示為

由上式可以看出，微分由偏導數表示，但函數連續(xù)與函數可導無關，所以

函數連續(xù)不一定可微。

第三：函數可微與可導之間的關系。

上述證明過程還是說明由于二元函數方向性的存在，導致

函數可導不一定可微。

由于全微分一定可以由偏導數表示：

如果函數z=f(x,y)在點

所以函數在某點可微一定在這一點有偏導數，也就是可導。

函數可微一定可導。

第四：函數偏導數連續(xù)與可微之間的關系。

首先，由前述看出，函數可微只能推出函數在該點的偏導數存在，并不能推出該點的偏導數連續(xù)，所以

函數可微不一定偏導數連續(xù)。

上述證明的過程中用到了偏導數的連續(xù)性，也就是說，如果偏導數不連續(xù)，上面的證明就不成立，所以，函數可微一定要求函數的偏導數連續(xù)。

由此得到：

函數某點的偏導數連續(xù)，則必然可微。

通過以上的證明過程，我們如果要比較牢固地把握圖2中多元函數連續(xù)可導可微與偏導數連續(xù)之間的相互關系，就需要理解并掌握圖1、圖3、圖4、圖5、圖6、圖7和圖8表示的意思。

綜合以上：

1：對于一元函數來說，可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導。而一元函數的可導與可微是統(tǒng)一的。

2：大部分是由于多元函數的方向性，導致了多元函數連續(xù)可導可微之間的復雜關系。