牛頓377、直線點(diǎn)斜式，直線點(diǎn)斜式的推導(dǎo)

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點(diǎn)斜式（百度百科）：點(diǎn)斜式是指一種算式，已知直線上一點(diǎn)（a，b）并且存在直線的斜率k，則直線可表示為y-b=k（x-a）。

定義

…定、義、定義：見(jiàn)《歐幾里得28》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

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?（a，b）在平面直角坐標(biāo)系中，如果直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2，那么AB=（x2-x1，y2-y1）是L的一個(gè)方向向量，于是直線L的斜率k=（y2-y1）/（x2-x1）。

方程y-b=k（x-a）叫做直線的點(diǎn)斜式方程，其中?（a，b）是直線上一點(diǎn)。

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注：k=（y2-y1）/（x2-x1）（y2≠y1，x2≠x1）

當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，k不存在，直線可表示為x=x1

當(dāng)直線與y軸垂直時(shí)，k=0，直線可表示為y=y1

應(yīng)用

…應(yīng)、用、應(yīng)用：見(jiàn)《歐幾里得181》…

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1、點(diǎn)斜式普遍用于導(dǎo)數(shù)當(dāng)中。

…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見(jiàn)《牛頓288~294》…

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用已知切線上一點(diǎn)和曲線導(dǎo)數(shù)（曲線上某點(diǎn)切線的斜率）求切線方程時(shí)用。

…切、線、切線：見(jiàn)《牛頓288》…

…斜、率、斜率：見(jiàn)《牛頓289》…

…方、程、方程：見(jiàn)《伽利略53》…

（…《伽利略》：小說(shuō)名…）

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2、適用于知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和直線斜率，求直線方程的題目。

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推導(dǎo)

…推、導(dǎo)、推導(dǎo)：見(jiàn)《歐幾里得7》…

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若直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1（x1，y1），且斜率為k，求L的方程。

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解：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是直線上不同于點(diǎn)P1的任意一點(diǎn)。

∵?直線PP1的斜率=直線L的斜率

∴?根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式k=（y2-y1）/（x2-x1），得

k=（y-y1）/（x-x1）

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∴?直線L的方程為：y-y1=k（x-x1）

說(shuō)明：

（1）這個(gè)方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的，這一點(diǎn)必須在直線上，否則點(diǎn)斜式方程不成立；

（2）當(dāng)直線L的傾斜角為0°時(shí)，直線方程為y=y1；

（3）當(dāng)直線傾斜角為90°時(shí)，直線沒(méi)有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，這時(shí)直線方程為x=x1。

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方程用途

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在求曲線切線方程中，一般會(huì)告訴切點(diǎn)和曲線方程。這時(shí)利用導(dǎo)數(shù)公式可求出切線斜率k，利用點(diǎn)斜式可以表示此直線方程。

另外，有時(shí)題目會(huì)告訴曲線外一點(diǎn)（a，b）和曲線方程，這時(shí)只需設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)A（x，y），利用導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)數(shù)（即切線斜率）的表達(dá)式M，再使（y-b）/（x-a）=M，即可求出切點(diǎn)A的坐標(biāo)。

利用點(diǎn)斜式可將方程表示出來(lái)。

“直線的斜截式方程：y=kx+b，其中k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距。該方程叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式。

請(qǐng)看下集《牛頓378、直線斜截式，直線斜截式的推導(dǎo)》”

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