問題：

? ? ? ? 1.?我們都知道“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”是判斷數(shù)列是否收斂的一個重要方法，而數(shù)列又是一類特殊的函數(shù)，但這個判定直接用在函數(shù)上是不成立的。

? ? ? ? 2. 對于在實數(shù)域R上單調(diào)有界的可微函數(shù)，是否一定有

雖然直觀上看上去好像會有

例如

滿足單調(diào)、有界，且

還有許多這樣的函數(shù)，單調(diào)有界，連續(xù)可微，有

然而由于并沒有把所有的滿足單調(diào)有界、連續(xù)可微的函數(shù)都列舉出來，所以下面Moran在文獻[1]提供了一個構(gòu)造此類函數(shù)的思路，范麗君教授在文獻[2]中給出了一個具體的反例。

反例

問題1

? ? ? ? 首先，“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”，對于這個判別定理，我們具體的知道數(shù)列這一特殊函數(shù)，其極限過程只有一種，就是n→∞（n默認為自然數(shù)），而一般函數(shù)極限過程則有多種可能，如x→+∞，x→-∞，x→∞，x→0+等，對于一個函數(shù)來說，即使是單調(diào)函數(shù)，對于不同的極限過程，其極限可能存在也可能不存在。例如

例1. 對于

當(dāng)x→+∞，x→-∞時

但當(dāng)x→∞時

極限不存在

例2. 對于函數(shù)

我們知道在其定義域內(nèi)是單調(diào)有界函數(shù)，x=0是f(x)在其定義區(qū)間的一個跳躍間斷點，那么盡管函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是單調(diào)有界函數(shù)，但當(dāng)x→0時，其極限也不存在。

問題2

? ? ? ??首先是由Moran提出的構(gòu)造此類函數(shù)的思想方法:

下面是由范麗君教授構(gòu)造的一個具體的反例：

所以，當(dāng)我們要用“單調(diào)有界原理”應(yīng)用在函數(shù)極限時，需注意只有對于函數(shù)的單側(cè)極限才是成立的

參考文獻

[1] ?Moran,?D. A: For a collection of examples and counterexamples, Amer Math Monthly, 68(1061), 508-509.

[2]??范麗君, 郭挺. 一類單調(diào)有界光滑函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)極限存在性[J].?江西理工大學(xué)學(xué)報, 2010, 31(3):?69-73.