【數(shù)學(xué)筆記】導(dǎo)數(shù)壓軸

以下筆記為一數(shù)所講總結(jié)+本人心得合并+其他補充

主體內(nèi)容為一數(shù)所講。

我是筆記區(qū)高三UP主Xavze!

學(xué)而為友，互勉共進！?( 'ω' )?

“※”表示一數(shù)口述很重要的或截圖中沒有出現(xiàn)的或表意不明的內(nèi)容。

“///”表示自己總結(jié)補充或根據(jù)視頻內(nèi)容對一數(shù)所說進行擴充。

(附導(dǎo)數(shù)技巧總結(jié)，有其他一哥沒講到的好東西喔~)

自己整理的導(dǎo)數(shù)專欄~CV22752782

大部分總結(jié)方法技巧都在這里了!!!

非常重要的關(guān)于導(dǎo)數(shù)化簡的小技巧?。?！

就記?。?/p>

1°碰到eX，就讓eX盡量與變量x相匹配，比如xeX，x/eX都可以，因為eX導(dǎo)出來還是eX，而且恒大于零，對分類討論沒有任何限制條件。

2°碰到lnx，一定要把lnx單獨分出來放到一邊！

因為lnx單獨分開時，它的導(dǎo)數(shù)就是1/x，非常簡單，也很好分析。但如果要是和別的量放在一起，那就會復(fù)雜許多?。?！因為和別的量放在一起（常數(shù)不算），導(dǎo)完以后還是會有l(wèi)nx，還要再導(dǎo)！！

比如f（x）=lnx/x，這個時候要是直接導(dǎo)，那就會出現(xiàn)（1-lnx）/x2，然后要是進一步計算就要單拎出lnx二階導(dǎo)。

但這時令一個新的函數(shù)g(x)=f(x)/x=lnx，那么g(x)的導(dǎo)數(shù)就是1/x，就不需要二階導(dǎo)了。（注意，這里x的定義域是＞0，所以直接除去x可以，其他情況還是要考慮一下正負的。）

主要就是通過乘除x之類的量，使得lnx單獨出來，方便運算與討論。

【壓軸】1.恒成立之參數(shù)分離

【題目實例理解】

※：

①對于沒有學(xué)過的函數(shù)，可以嘗試去猜根（試根）

有的時候因式分解會直接幫助得出根。

②考試不要用“↑”、“↓”箭頭來表示單調(diào)遞增或遞減，要完全寫出來。

③大致畫個圖確認(rèn)單調(diào)性，直接判斷。

（討論單調(diào)性，嚴(yán)謹(jǐn)一點是不能直接畫圖解釋單調(diào)性的，因為圖像不作為解題依據(jù)?。。?/p>

④壓軸題中導(dǎo)函數(shù)求零點時，大多要進行因式分解，因式分解一般會有一點點難度，要了解一部分基礎(chǔ)的湊配方式，比如提出一個x分給另外一個式子，還有加減常數(shù)湊配，或者提出系數(shù)湊配之類的。

///補充點：

①關(guān)于猜根的一點補充：

猜根也不是瞎猜，基本上就是猜0,1,2，-1，e這類數(shù)字，一般來說也不是很難猜。

猜根還要注意定義域的限制，比如說猜了一個“-1”，結(jié)果原函數(shù)是lnX，也就是定義域大于0，那么這個根“-1”就直接作廢。

所以猜根之前，一定要先看定義域，有的時候定義域就可以直接篩選掉不存在的根，縮小猜根的范圍，也就更好去猜。

②隱零點的相關(guān)解法（也就是第二道例題中那種求不出來具體位置的零點，即稱為隱零點。一數(shù)后面也講了，這里先行給出我自己的方法與觀點。僅供參考。）

首先介紹一下零點存在性定理。

零點存在性定理：

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）*f（b）＜0。

那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b)，使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

對于函數(shù) y=f(x) ，使f（x）=0 的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點，即零點不是點。

（零點是y=0時，x=？中“？”的值?。?/span>

這樣，函數(shù)y=f（x）的零點就是方程 f（x）=0 的實數(shù)根，也就是函數(shù)y=f（x）的圖象與 x 軸的交點的橫坐標(biāo)。

但在導(dǎo)數(shù)中，用這個定理一定要先判單調(diào)性?。?！一定要?。?！

有的人可能會問為什么，在此用一組概念辨析來解釋一下：

請判斷下面兩個命題哪個是正確的：

①若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)<0,則y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點。

②若y=f(x)在在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且(a,b)內(nèi)有零點，則必有f(a)·f(b)<0

↓↓↓

①一定是對的，這就是定義。

但②就錯了，雖然只是把①反過來說，但這很明顯是錯的，比如說x2，有一個零點，但當(dāng)x取-1,1時，1*1大于零，不滿足②

這時怎么說才對呢？這就引出了導(dǎo)數(shù)中判零點要用到的零點唯一性定理

零點唯一性定理：

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，端點值滿足f(a)·f(b)<0,且函數(shù)在(a,b)上單調(diào)，則y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點。

反過來說也對

這就是說，如果要判零點，必須帶上單調(diào)性，使用零點唯一性定理，所算出來的才一定是正確的！

切記單調(diào)?。?！

現(xiàn)在來講講隱零點的出現(xiàn)情況：

一般都是在證明不等式中出現(xiàn)，比如某函數(shù)恒大于零。

首先對一個函數(shù)進行求導(dǎo)，討論單調(diào)性等情況。

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜，出現(xiàn)了類似于xlnx，xex此類的項時，將這些復(fù)雜的項單拎出來進行二次求導(dǎo)。

二次求導(dǎo)找零點判單調(diào)性。

這時發(fā)現(xiàn)當(dāng)二階導(dǎo)g(x)=0時，x解不出來（高中范疇內(nèi)解不出來，其實都可以解）

這個時候就要虛設(shè)零點

意思就是g(x)=0，這個x是解不出來的，那就令x=x0，這個x0就代表g(x)=0的解。

但是要討論單調(diào)性，必須還要知道這個零點的位置在哪，但這個位置算不出來，所以這個時候就要嘗試對單拎出來的這一項函數(shù)進行賦值，來確定x0的大致范圍。

賦值：就是取值往原函數(shù)里代，進行計算進一步估算零點。

通過各種定義域，大小關(guān)系，去限制隱零點所在區(qū)間，最后限定在一個大致的區(qū)間范圍內(nèi)即可。

比如在有l(wèi)og或者ln的式子中，定義域x＞0，則隱零點的取值范圍只能在（0，+∞）之內(nèi)。

當(dāng)然這個范圍還是很大，只是在此舉個例子講一下怎么利用各種關(guān)系去約束取值范圍從而得到最小的大致范圍。往往題目所要利用的就是用這種“逼近”方法所能取到的最小范圍。

比如現(xiàn)已確定零點的范圍是（0,1），假定函數(shù)單增

那么要進一步逼近零點，就可以采用賦值的方法。

比如賦值x=1/2代入原函數(shù)（注意是原函數(shù)，不是導(dǎo)函數(shù)），如果得到的f(1/2)＞0，又因為函數(shù)單增，則零點的范圍縮小到（0,1/2）中

若f(1/2)＜0，則零點的范圍縮小到（1/2，1）中。

但一般在隱零點問題中代入的值一般是正整數(shù)1,2,3,4等等，很少有分?jǐn)?shù)，雖然說這樣賦值所限定的范圍還是不那么精確，但大多數(shù)題目就足夠用了。

然后知道了x0的大致范圍（就當(dāng)做x0的定義域），再把x0直接當(dāng)做一個常數(shù)帶回到g(x)=0，代換得到關(guān)系。

再將此關(guān)系代回到原函數(shù)f(x)，對此時的函數(shù)f(x0)化簡并運用關(guān)系即可證明不等式

大多數(shù)這類題目的思路就是這樣的。

2°特殊方法（郎伯W函數(shù)或超越函數(shù)）

這個方法很刺激，但有一點難度，不要求掌握，但如果要沖高分，可以看一看，這個方法可以幫你簡化思路，秒殺壓軸?。。ㄐ☆}可）

這個特殊方法特殊在于你要了解兩個知識點，但都不大屬于高中范疇。

第一個：郎伯W函數(shù)（了解即可）

求準(zhǔn)確值可用(一般也不會有這么變態(tài)的要求。。)

郎伯W函數(shù)，又名乘積對數(shù)函數(shù)、歐米伽函數(shù)

此類函數(shù)就涉及到了隱零點，用郎伯W函數(shù)來表示形式為：

如果xe的x次方的值為2，那么最后x的值就為W（2），類似于W（2）這類的值要依靠數(shù)學(xué)運算工具——計算器或電腦獲得，在此直接給出。

對應(yīng)此表可直接得到W（x）的值。

不過這種方法的實用性不強，但與之相關(guān)的圖像就是導(dǎo)數(shù)中考頻超高的超越函數(shù)

第二個：超越函數(shù)（重點）

超越函數(shù)就是類似于上面xe的x次方的這種函數(shù)，靠一般方法解不出零點的（就是隱零點），這一類稱為超越函數(shù)，也有的稱之為6大母函數(shù)。

這類超越函數(shù)最有用的是它們的圖像走向，極值點零點等關(guān)鍵信息，這些信息常被用來直接或間接地出在題目里，而用在小題中時，你還要花時間去導(dǎo)，去看單調(diào)性，極值點等等。

但有了圖像，就可以直接立判，省去時間，甚至直接出結(jié)果。

以下是導(dǎo)函數(shù)的六種圖像，截圖來源于超越函數(shù)講解課程。

有的時候題目不會直接給出這六大母函數(shù)，但是只要出現(xiàn)xlnx，xex之類的項，就可以考慮往超越函數(shù)上想，然后通過同除掉x，或者將x從左移到右邊等等代換方法就可以把題目化簡為交點問題或是其他類型的問題，這個時候有的可以根據(jù)圖像特征直接出結(jié)果，有的可能還要用到切線放縮等地方的知識。

但相比于基礎(chǔ)方法來說還是要更快的。

記憶方法的視頻：BV15b4y1H7q3

【壓軸】2.恒成立之直接討論（拔高）

///補充點：導(dǎo)數(shù)必看（？/1）

關(guān)于例題二有一點點補充，那就是必要性探路

必要性探路，就是在題目給的范圍內(nèi)賦值去試，從而減少討論次數(shù)，化簡過程。

以例題二為例，簡要的講一下。

∵X∈[0，π]，f(x)≥0恒成立

∴令x=0代入得f(x)=-(1+a)

∵f(x)≥0恒成立

∴可得a≤-1

于是就把a限制在了a≤-1的范圍內(nèi)

神奇的一幕出現(xiàn)了！

因為a≤-1，所以一數(shù)討論的情況一，情況二，情況三，通通直接無解?。。【偷扔谡f你不用算了，直接討論最后一種即可！

而且，大題可以直接用哦~~~~

注意點：

必要性探路，所賦的值必須在定義域以內(nèi)，而且要用題目給的大小關(guān)系來約束??！

如果要使用必要性探路，一定要一上來就寫，而不是放在最后寫?。?/span>

而且，賦值的出來的大小范圍就可以直接用了~

必要性探路，一般來說可以化簡90%以上的題目，省去不必要的分類討論！

你可能會猶豫到底是寫還是不寫，在此給個建議，如果題目太簡單，直接分類做就是了，如果給的是復(fù)雜函數(shù)求范圍，那就先用上，就算題目屬于那10%沒用的，也耽誤不了幾分鐘。

前面所述的必要性探路只是其最最基礎(chǔ)的應(yīng)用，但實際上必要性探路的巨大作用遠遠不及此。

相關(guān)拔高內(nèi)容還在整理，請見CV23533141，或前往BV16D4y1q7SY查看講解視頻！?。ㄟ@是我能找到的講的最全最好的視頻了?。?/span>

未知極值點處理(中檔)

通過估測得出范圍。

判單調(diào)性，極值點。

由題得到關(guān)于極值點的等式，利用等式進行代換計算，消消消消消~

證明新函數(shù)，或是直接得答案~

繼續(xù)精確可以去賦值限制隱零點范圍以滿足題目條件~

未知極值點處理(進階)

碰到無法處理的含參的，可以結(jié)合題目中的ln等題目條件去進行分析，限制參數(shù)的范圍，比如像這里的lna，這也就限定了a的范圍必須大于零

根據(jù)目標(biāo)代換式進行刻意的構(gòu)造，采用移項取對數(shù)之類的方法

【拔高】極值點偏移

極值點相對中點分為偏左和偏右也叫極值點偏移。

理解就是要看哪邊陡哪邊緩，然后得出關(guān)系。

所以要證明哪邊緩，哪邊抖。

通法:結(jié)合一哥視頻自己總結(jié)的

分析階段:

①如果有第一小問是求單調(diào)性或極值，那就直接用第一小問求出的結(jié)論，去畫個圖，大致看一下哪邊緩哪邊陡，然后再去根據(jù)圖像走勢去構(gòu)造函數(shù)。

②想要去證明哪邊緩哪邊陡，就要通過這兩個x1x2，去構(gòu)建關(guān)系，看這兩者與極值點的關(guān)系，比如說X2更陡，那么等于說從極值點往X2方向偏，稍微偏一點點就可以下降／上升很多，那么，此時結(jié)合圖像，設(shè)極值點位置為X0，則x2-x0＜x0-x1

③要證明上述不等式，那么就可以換種方式去證明，從極值點向左和向右相同的距離，這個距離設(shè)為x，如果極值點不發(fā)生偏移，也就是極值點和中點重合，那么，從這個極值點向左或向右相同距離所得到的函數(shù)值是相等的，但是因為極值點發(fā)生了偏移，所以從極值點向左和向右相同距離的函數(shù)值是不等的

在給出的例題中，因為極值點是左偏的，左邊更陡，所以從極值點向左邊相同距離的函數(shù)值小于從極值點向右邊相同距離的函數(shù)值，就可以列出關(guān)系式，然后就去證明就可以了。

做題階段:

①列出單調(diào)性，極值點

②根據(jù)題意列出x1與x2處函數(shù)值的關(guān)系(一般是相等)

③構(gòu)造函數(shù)，就用從極值點向左或向右相同距離，這個距離設(shè)為x，判斷極值點是左偏還是右偏，來得出不等式結(jié)論，要不然就是極值點減去x的函數(shù)值大于極值點加上x的函數(shù)值，要不然就是反過來。

④構(gòu)造函數(shù)并對其求導(dǎo)判斷單調(diào)性。因為如果不判斷單調(diào)性，是無法直接得到不等式關(guān)系的，所以需要先去判斷這個新構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，然后再根據(jù)單增或單減，得到這樣的不等式關(guān)系，這個時候，因為它具有單調(diào)性，所以就可以把外面的函數(shù)值f給脫掉。

⑤(答題術(shù)語)不妨設(shè) ?＜x1<極值點<?

“?”處填上有兩個相同函數(shù)值的范圍

⑥令x0+x=x2(僅僅舉個例子，有的時候不一定是這個)替換掉構(gòu)造函數(shù)，換為要證明的x1x2，進而根據(jù)單調(diào)性脫去f，得到不等式關(guān)系，證畢。

補充一下:這只是極值點偏移最最基礎(chǔ)的類型，相關(guān)變形一般要對證明結(jié)論取對數(shù)或是采取同構(gòu)的方法加以解決，將其轉(zhuǎn)變?yōu)樽罨A(chǔ)的結(jié)論再去做，也就是命題轉(zhuǎn)換

導(dǎo)數(shù)的三連放縮

(順便提一嘴，所有的這些放縮，包括三角放縮在內(nèi)，都是由泰勒公式得到。感興趣的可以去看看泰勒，這些放縮真的很好用，不過還是大題用不了，要證明。)

雖然說需要構(gòu)造新函數(shù)，并且去證明放縮結(jié)論，但是總體上來說，思路很清晰

上題。。

導(dǎo)數(shù)的三角放縮舉例

(講真，第一題我的想法是對數(shù)均值不等式。。對數(shù)均值不等式是真的好用。CV22752782了解一下，或去看看視頻也可。)

導(dǎo)數(shù)中的數(shù)列求和

所求數(shù)列一定和前面所求有關(guān)。

通過對x賦值將符號改寫

導(dǎo)數(shù)的放縮進階技巧