欲證:z.a?a?…a?b?b?…bsb?b?…bs……?p/q

請先至少獨立思考五分鐘??????（其實我覺得二十分鐘都不為過）

下面開始證明

預(yù)設(shè):

①不妨設(shè)有限小數(shù)為循環(huán)節(jié)為0的無限循環(huán)小數(shù)；

②對一般形式無限循環(huán)小數(shù):z.a?a?…a?b?b?…bsb?b?…bs……，乘以10?，然后減去整數(shù)部分，得0.b?b?…bsb?b?…bs……。

若0.b?b?…bsb?b?…bs……有分?jǐn)?shù)形式，則一般形式亦有。故證充分性時，不妨設(shè)無限循環(huán)小數(shù)為0.b?b?…bsb?b?…bs……；

②對既約分?jǐn)?shù)p/q，若p≥q，則可減去整數(shù)部分無礙證明，故證必要性時，不妨設(shè)既約分?jǐn)?shù)p/q（p＜q）。

充分性:

0.b?b?…bsb?b?…bs……

=b?·10?1+b?·10?2…+bs·10??+b?·10???1+…bs·10?2?……

=b?（10?1+10???1+…）+…+bs（10??+10?2?+…）

應(yīng)用等比無窮求和（公比10??，故收斂）

=b?（10?1/1-10??）+…+bs（10??/1-10??）

=0.b?b?…bs/1-10??

＃

必要性:

對p/q（p＜q）進(jìn)行除式的過程中會得到一連串余數(shù)，如圖p/q取1/7，得余數(shù)1，3，2，6，4，5，1，3……。

已知余數(shù)r滿足0≤r≤q-1，因q是有限正整數(shù)，故整數(shù)r在有限次內(nèi)必定重復(fù)，而一旦取到重復(fù)，即開始循環(huán)。

#

最近只更專欄，分兩個主題。

一是讀書感悟，基本都是數(shù)學(xué)雜書，等整理好思緒開更數(shù)學(xué)史。

二是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題，雖說是基礎(chǔ)問題，但其實一般學(xué)生還真回答不上來，譬如今天這個問題。

開第二個主題的原因，是因為之前有篇專欄提到，千萬不要丟棄那些剛開始學(xué)的時候提出的問題。因為你一旦丟棄了，你可能再也意識不到那里存在一個問題。在學(xué)數(shù)學(xué)的路上，你被迫接受的越多，就相當(dāng)于你負(fù)重越多，結(jié)果不言而喻。

我希望后面提出的每個基礎(chǔ)問題，你都能多花時間獨立思考，盡量給出高觀點下的口頭解釋，這是我最愛的，還記得嗎？