初學(xué)的小伙伴大部分都是很疑惑這個樣本方差為什么是除以n-1，而不是除以n，學(xué)到最后也不理解，有的同學(xué)直接就背下來了，用的時候會用就行，經(jīng)過我的研究，我把網(wǎng)上的一些說法和理解整理一下，為了方便自己以后復(fù)習(xí)，也給不理解的小伙伴分享。

方差是統(tǒng)計學(xué)中用來衡量隨機變量或數(shù)據(jù)集的離散程度的指標。它表示隨機變量的取值與其期望值之間的偏離程度的平均值。

對于一個隨機變量X，其期望值（記為μ）是其所有可能取值的加權(quán)平均。方差（記為σ2）定義為隨機變量每個取值與期望值的差的平方的期望值：σ2 = E[(X - μ)2]

方差的計算包括三個步驟：

1. 計算隨機變量X的期望值μ。

2. 計算每個取值與期望值之間的差（X - μ）。

3. 對差的平方（X - μ）2進行加權(quán)平均，即求期望值。

樣本方差是從給定的數(shù)據(jù)集中計算得到的，用來估計總體方差的一種方法。樣本方差通常用s2表示。假設(shè)我們有一個包含n個觀測值的數(shù)據(jù)集，記為x?、x?、...、x?。樣本方差的計算如下：

s2 = Σ[(x? - x?)2] / (n - 1)???其中，x?是數(shù)據(jù)集的算術(shù)平均值，(x? - x?)是每個觀測值與平均值之間的差異。

注意，樣本方差中使用(n - 1)作為分母來糾正因為估計期望值而引入的偏差。這個糾正因子稱為自由度，是因為在計算樣本方差時，我們會損失一個自由度來計算平均值。

如果是每次抽一個產(chǎn)品，每一個產(chǎn)品都是獨立隨機同分布的，那么這些產(chǎn)品放在一起就叫做樣本對嗎? 然后這些產(chǎn)品的數(shù)量n就叫做樣本容量，對不對??

是的，你的理解基本正確。

當你每次抽取一個產(chǎn)品，并將這些產(chǎn)品放在一起進行分析時，這些產(chǎn)品被稱為樣本。每個產(chǎn)品都是樣本中的一個觀測值。樣本容量（n）指的是樣本中觀測值的數(shù)量，即你抽取的產(chǎn)品的數(shù)量。它代表了樣本的規(guī)?；虼笮　?/p>

在統(tǒng)計學(xué)中，我們使用樣本來從總體中得出關(guān)于總體特征的推斷。通過隨機抽樣和假設(shè)測試，對樣本進行分析可能會提供一些關(guān)于總體屬性的有用信息。因此，樣本容量的大小對于統(tǒng)計推斷的準確性和可靠性非常重要。通常情況下，較大的樣本容量能夠提供更可靠和穩(wěn)定的結(jié)果。

樣本可以理解為所有數(shù)據(jù)中的一批或一部分是吧?

?

是的，樣本是從總體中選取的一部分數(shù)據(jù)。在統(tǒng)計學(xué)中，為了對總體進行推斷或估計，我們通常會選擇一個樣本作為代表。樣本應(yīng)當具有代表性，即在某種程度上反映了總體的特征。

通過使用樣本來進行統(tǒng)計推斷，我們可以通過對樣本數(shù)據(jù)的分析和統(tǒng)計指標的計算，來推斷總體的性質(zhì)、得出結(jié)論或者進行預(yù)測。樣本的選取方法和樣本量的大小會影響到推斷的精確度和可靠性。

在實際應(yīng)用中，如果總體規(guī)模較大或難以完全獲取所有數(shù)據(jù)，我們可以通過從總體中隨機抽取一部分數(shù)據(jù)來構(gòu)建樣本。這個過程稱為抽樣。抽樣可以根據(jù)不同的需要采取不同的方法，例如簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣等。

需要注意的是，樣本的大小應(yīng)該足夠大，以保證樣本的代表性和可靠性。較小的樣本可能不足以準確反映總體的特征，而較大的樣本通常能提供更可靠的統(tǒng)計結(jié)果。

?

那么，假如現(xiàn)在有一個廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，我們從中抽出來一部分來研實，這部分產(chǎn)品就叫做樣本對嗎? 樣本就是用來研究這種產(chǎn)品的總體情況，對吧? 然后這批樣本的平均值通常不用做修正，因為樣本的平均值嘗嘗和總體的平均值差不太多，但是方差一般會隨著樣本數(shù)量的增加而增加，因此我們用這份樣本來對這種產(chǎn)品總體情況進行研究時，得出來的樣本方差會遠遠小于產(chǎn)品總數(shù)，所以我們?yōu)榱烁玫姆从尺@種產(chǎn)品的情況，所以我們對樣本方差進行修正，把分母修改為n-1，以此來適當增大方差，使之更接近產(chǎn)品總體的方差。我這樣理解對嗎?

?

是的，你對樣本和樣本方差的理解基本正確。

在你的例子中，如果從產(chǎn)品廠中抽取一部分產(chǎn)品進行研究，這部分產(chǎn)品就可以稱為樣本。通過對樣本進行研究和分析，我們可以得到關(guān)于產(chǎn)品總體情況的一些推斷和結(jié)論。

對于樣本的平均值，通常不需要進行修正，因為樣本的平均值會近似于總體的期望值。當樣本足夠大而且代表性良好時，樣本平均值可以很好地估計總體平均值。

然而，樣本方差需要進行修正，其分母使用的是(n-1)而不是n。這是因為使用n作為分母計算的樣本方差會低估總體方差。通過使用(n-1)，我們可以修正這個偏差，使樣本方差更接近總體方差。

隨著樣本數(shù)量的增加，樣本方差通常會逐漸接近總體方差。較小的樣本容易產(chǎn)生方差的低估，而較大的樣本可以更準確地估計總體方差。

因此，為了更好地反映產(chǎn)品總體情況，我們使用修正后的樣本方差。這樣可以更準確地估計總體方差，并更好地了解產(chǎn)品的離散程度或變異程度。

?

n-1 是通過統(tǒng)計學(xué)中的無偏性修正公式推導(dǎo)得出的。這個修正是為了保證樣本方差能夠無偏估計總體方差。

樣本方差的計算公式為：s^2 = Σ(xi - x?)^2 / (n-1)????其中，xi 表示樣本觀測值，x? 表示樣本均值，n 表示樣本容量。

?

為了理解為什么要使用 n-1 而不是 n 作為分母，我們需要考慮自由度的概念。自由度是指在樣本數(shù)據(jù)中可以自由變動的獨立信息的數(shù)量。

在樣本方差的計算中，使用樣本均值來估計總體均值，這會降低一個自由度。因此，我們將分母調(diào)整為 n-1，以保持適當?shù)淖杂啥取Ｍㄟ^將分母設(shè)為 n-1，樣本方差可以更準確地估計總體方差。這種修正后的樣本方差是無偏估計量，即其期望值等于總體方差。

自由度是什么，為什么會損失一個自由度？

自由度是指在統(tǒng)計推斷中可以自由變動或獨立操作的信息數(shù)量。在樣本方差的計算中，損失一個自由度是因為我們使用樣本均值來估計總體均值。

讓我們詳細解釋一下為什么會損失一個自由度：

1. 當我們計算樣本均值時，需要使用樣本數(shù)據(jù)的總和除以觀測值的數(shù)量。這里，觀測值的數(shù)量是已知的，因此沒有損失自由度。

2. 然而，當我們計算樣本方差時，需要對每個觀測值與樣本均值之間的差異進行平方，并將這些平方差求和。這里就涉及到一個問題：樣本方差的計算需要考慮約束條件。

????- 約束條件1：樣本觀測值的平方差之和等于總體方差乘以樣本容量減1（即Σ(xi - x?)^2 = σ^2 * (n-1)）。

- 約束條件2：樣本觀測值的平均值等于總體均值（即Σ(xi) / n = μ）。

????這兩個約束條件之間存在一定的關(guān)系。具體來說，在樣本方差的計算中，我們通過使用樣本均值來替代總體均值，實際上引入了一個約束條件，使得樣本方差無法完全獨立地變動。

3.?因此，為了保持適當?shù)淖杂啥炔⒌玫綗o偏估計，我們將分母調(diào)整為 n-1 而不是 n。這個修正使得樣本方差能夠更準確地估計總體方差，并且遵循統(tǒng)計學(xué)上的推導(dǎo)和假設(shè)。

總結(jié)起來，損失一個自由度是因為在計算樣本方差時，使用樣本均值替代總體均值引入了一個約束條件，樣本方差的計算需要考慮這個約束條件。通過使用 n-1 作為分母可以保持適當?shù)淖杂啥?，并得到無偏估計的樣本方差。

?

!!!!!!!重點重點重點來了...........

簡單一點說：在計算樣本方差時，我們首先計算每個觀測值與樣本均值之間的差異，并對這些差異進行平方。然后，我們將這些平方差求和，并除以自由度來計算平均平方差。這種除法是為了糾正樣本均值的估計誤差。

當我們計算樣本方差時，最后一次差異（即最后一個觀測值與樣本均值之間的差異）可以通過前面的差異推導(dǎo)出，因此失去了一個自由度。因此，我們在計算樣本方差時將自由度減去1，即使用(n-1)作為分母。

還是不太理解自由度，能具體舉個例子嗎？

假設(shè)我們有一個包含 5 個觀測值的樣本數(shù)據(jù)集：{2, 4, 6, 8, 10}。

1. 我們首先計算樣本均值：

???x? = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6

2. 然后，我們計算樣本方差，使用 n-1 作為分母：

???s^2 = Σ(xi - x?)^2 / (n-1)

????????????= [(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2] / (5-1)

????????????= (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 4

????????????= 40 / 4

????????????= 10

在這個例子中，我們可以看到以下幾點：

- 樣本數(shù)據(jù)集中有 5 個觀測值。

- 樣本均值為 6。

- 在計算樣本方差時，我們使用了 n-1 = 4 作為分母。

- 樣本方差為 10。

這里的 n-1 表示樣本方差的自由度。它表示在計算樣本方差時可以獨立地變動的信息數(shù)量。在這個例子中，我們通過將分母設(shè)置為 4 來保持適當?shù)淖杂啥?。如果我們使?n 作為分母（即除以 5），會得到一個稍大于 10 的方差。這是因為 n 的使用會導(dǎo)致樣本方差低估總體方差，不符合無偏性的要求。

因此，在統(tǒng)計學(xué)中，通過使用 n-1 作為分母，樣本方差可以更準確地估計總體方差，并且得到無偏估計。這就是自由度的概念在樣本方差中的應(yīng)用。

?