又到了學(xué)習(xí)常微分方程的時(shí)間嘍！

今天我們要介紹的是……常系數(shù)非齊次線性微分方程！

（怎么有股少兒頻道的味道……）

管他呢！

我們?cè)谝浑A微分方程的解法當(dāng)中，已經(jīng)著重討論過常數(shù)變易法這一重要的方法，它可以適用于多數(shù)的一階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

那么，一般的高階方程呢？

Chapter? Three? 常系數(shù)線性方程

3.4? 常系數(shù)線性非齊次方程

所謂非齊次線性方程，就是在通式當(dāng)中，等號(hào)右側(cè)的函數(shù)是一個(gè)并非在給定范圍內(nèi)恒等于0的函數(shù)。

我們考慮一些簡(jiǎn)單的情形，這在一般的應(yīng)用當(dāng)中基本足夠。更復(fù)雜的情形可能目前也沒有更一般的解法可以給我們參考。

設(shè)若右側(cè)函數(shù)有形式：

其中，是關(guān)于t的多項(xiàng)式，而是一些復(fù)數(shù)。由于其某些特殊的性質(zhì)（據(jù)我猜測(cè)，可能是因?yàn)槠淝髮?dǎo)過后仍然保持著相同的形式等等原因），我們將其稱之為擬多項(xiàng)式。

不難想到，按我們之前的討論，所有齊次常系數(shù)線性微分方程的解都是擬多項(xiàng)式。

擬多項(xiàng)式具有一些性質(zhì)，大家可以證明研究：

（1）擬多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)仍為擬多項(xiàng)式；

（2）擬多項(xiàng)式的不定積分仍為擬多項(xiàng)式；

（3）擬多項(xiàng)式的和與積仍為擬多項(xiàng)式；

（4）任意擬多項(xiàng)式總可以表達(dá)成為具有以下特征的形式：

基于這些性質(zhì)，我們?cè)谶@一篇專欄當(dāng)中將著重研究以擬多項(xiàng)式作為非齊次方程中的函數(shù)項(xiàng)的常系數(shù)非齊次線性微分方程。

為了更好的尋求解決方法，我們需要對(duì)解函數(shù)的性質(zhì)有所研究。

設(shè)函數(shù)和均為微分方程：

的解，那么就有：

考慮到微分與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)，不難得到：

這說明，任意兩個(gè)非齊次微分方程的解的差，都是對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的解。

（我忘記了有沒有介紹過這一結(jié)論了，但不重要~）

有了這一結(jié)論，我們就不難利用反證法的思路，證明：

非齊次方程的任意一個(gè)解都可以表達(dá)成其某一個(gè)解與對(duì)應(yīng)的非齊次方程的某一個(gè)解之和。

（命題1）

這一結(jié)論揭示了非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)，因而對(duì)解決非齊次方程有著重要作用。我們已經(jīng)研究過非齊次方程的解的求法，因此現(xiàn)在的問題就變成了用一定的方法求解某一特解。

我們現(xiàn)在來進(jìn)一步研究右側(cè)函數(shù)為擬多項(xiàng)式的微分方程的解的性質(zhì)。

基于我們上面提到的擬多項(xiàng)式的性質(zhì)，我們能夠知道，擬多項(xiàng)式的微分與積分仍為擬多項(xiàng)式。這樣，對(duì)于方程：

的解，我們可以將其分解為兩個(gè)部分：

其中，是一個(gè)擬多項(xiàng)式，而是一個(gè)非擬多項(xiàng)式。我們能夠推知，非擬多項(xiàng)式的微分仍為非擬多項(xiàng)式。將解函數(shù)代入原方程，就有：

這樣，由于右側(cè)函數(shù)是一個(gè)擬多項(xiàng)式，因此就應(yīng)該有：

這樣就轉(zhuǎn)化為了兩個(gè)部分的微分方程的解的問題。而考慮到我們對(duì)齊次方程的解的研究結(jié)果，我們不難發(fā)現(xiàn)，齊次方程的解函數(shù)一定是一個(gè)擬多項(xiàng)式。這樣就導(dǎo)致了非擬多項(xiàng)式的部分不存在（或者說恒等于0）。于是，我們就得到了這樣的結(jié)論：

右側(cè)函數(shù)為擬多項(xiàng)式的常系數(shù)非齊次線性微分方程的解函數(shù)一定是擬多項(xiàng)式。

這對(duì)于我們尋求特解有著重要的幫助。

我們很容易證明：

當(dāng)和分別是方程：

以及

的解時(shí)，方程：

的解為：

（命題2）

因此，只要我們研究出右側(cè)函數(shù)為單項(xiàng)的擬多項(xiàng)式時(shí)，微分方程的解的情況，我們就能夠很快地給出一些通用方法來解決問題。當(dāng)擬多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)如下時(shí)：

我們就不難猜測(cè)，解函數(shù)一定具有形式：

其中，也是一個(gè)多項(xiàng)式。

將解代入方程，得到：

兩側(cè)化簡(jiǎn)，得到：

此時(shí)，如果有：

則有：

（這一點(diǎn)在涉及到平移公式的專欄當(dāng)中已經(jīng)有所介紹~）

若設(shè)：

那么，由多項(xiàng)式的性質(zhì)，我們就能夠得到：

其中，l是特征多項(xiàng)式中冪次最低項(xiàng)的次數(shù)?？紤]到，顯然，l=k。

代入進(jìn)去之后，我們就能夠得到：

之后，只要逐次待定系數(shù)，就可以求出至少一個(gè)特解。

從上述過程當(dāng)中，我們不難看到，事實(shí)上，方程應(yīng)該存在形式為：

的特解。其中，k為特征根的重?cái)?shù)，是m次多項(xiàng)式。（即次數(shù)與右側(cè)擬多項(xiàng)式中的多項(xiàng)式相同。）

總結(jié)一下，就是說：

對(duì)于形式如：

的方程，其解滿足：

若同時(shí)有：

則方程應(yīng)該存在形式為：

的特解。其中，的次數(shù)與一致，其表達(dá)式可以通過待定系數(shù)法求解。

（結(jié)論1）

如果，那么就將k記為0。這樣，對(duì)于非特征根的，也可以被包含在結(jié)論當(dāng)中。

還有一種比較常見的情況，就是：

一般而言，此種情形下，微分方程一般寫作：

的形式。對(duì)應(yīng)地，自然也有正弦的形式。

考慮到解函數(shù)的共軛也一定是解函數(shù)，因此我們可以分離方程：

此時(shí)，只需要解其中一個(gè)方程，得到解，那么另一個(gè)方程也就解決了。最終，原方程的解為。

（結(jié)論2）

思考：

1. 證明擬多項(xiàng)式的性質(zhì)；

2. 證明命題1；

3. 證明命題2；

4. 解滿足如下條件的微分方程：

   （1）

   （2）

   （3）

   （4）

   （5）

   （6）

最後の最後に、ありがとうございました！