第八章 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、知識點

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   定理1（最大最小值定理）：f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必取到最大值M和最小值m
2. 最值強調(diào)區(qū)間，極值強調(diào)鄰域（雙側(cè)）。故最值點可取閉區(qū)間的端點，極值點不行。
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3. 如果f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，是否能保證取到最大值或最小值？——不能保證
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4. f(x)只有在兩端都閉的區(qū)間上連續(xù)才能保證一定能取到最值，其余的情況都未必能取到最值。
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5. 推論：如果f(x)在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)，則在[a,b]上有界
6. 思考：開區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界性如何判斷？
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7. f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且趨于a的右極限和趨于b的左極限都存在，則f(x)在(a,b)內(nèi)有界。
8. 其他情況以此類推
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   定理2 （介值定理）：f(x)在[a,b]上連續(xù)，最大值為M，最小值為m，任意的數(shù)c屬于[m,M],則存在ξ屬于[a,b]，使f(ξ)=c.?
10. ξ取值強調(diào)閉區(qū)間
11. ξ不一定唯一
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    定理3 （零點定理）：f(x)在[a,b]上連續(xù)，若f(a)f(b)<0,則存在ξ屬于(a,b)，使f(ξ)=0.
13. ξ取值強調(diào)開區(qū)間
14. 定理3是充分非必要條件
15. ξ不一定唯一
16. 經(jīng)常用來判定根的存在性，也可以結(jié)合單調(diào)性來判斷根的個數(shù)
17. 離散與連續(xù)的絕對值不等式：見圖1
18. 四個平均值定理：
19. 算數(shù)平均值定理：見圖2
20. 加權(quán)平均值定理：見圖3
21. 幾何平均值定理：見圖4
22. 連續(xù)平均值定理（積分中值定理）：見圖5
23. 加強形式：ξ屬于開區(qū)間(a,b),見圖6
24. 函數(shù)f(x)連續(xù)是f(x)存在原函數(shù)的充分不必要條件

圖1：離散與連續(xù)的絕對值不等式

圖2：算數(shù)平均值定理

圖3：加權(quán)平均值定理

圖4：幾何平均值定理

圖5：連續(xù)平均值定理（積分中值定理）

圖6：連續(xù)平均值定理（積分中值定理）——加強形式

二、證明

1. 證明“f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且趨于a的右極限和趨于b的左極限都存在，則f(x)在(a,b)內(nèi)有界”：
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   26:13

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2. 證明算數(shù)平均值定理：
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   01:25:17

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3. 證明加權(quán)平均值定理：
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   01:29:36

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4. 證明幾何平均值定理：
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   01:39:46

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5. 證明連續(xù)平均值定理（積分中值定理）：
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   01:44:52

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6. 證明連續(xù)平均值定理（積分中值定理）的加強形式：
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   01:56:06

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7. 使用連續(xù)平均值定理（積分中值定理）的加強形式證明的題：
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   02:01:07

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8. 使用零點定理證明的問題（注意細節(jié)）：
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   02:03:38

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三、計算

1. 判斷函數(shù)在哪個區(qū)間內(nèi)有界：
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   34:22

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