結(jié)構(gòu)有限元分析中，涉及到彈塑性材料、結(jié)構(gòu)大變形大轉(zhuǎn)動以及接觸問題都是非線性問題，需要使用非線性工況進行求解。

Abaqus、OptiStruct及Ansys Mechanical等有限元求解器多使用牛頓迭代法，即Newton-Raphson迭代法，來求解非線性問題。

很多結(jié)構(gòu)非線性培訓(xùn)資料都會用下面這張圖來講解牛頓迭代法，但說實話，筆者第一次看到這張圖時，只知道是逐步逼近準(zhǔn)確解，知其然但不知其所以然，不知道怎么來的。

牛頓迭代法有以下三種變形：常規(guī)牛頓迭代法，修正的牛頓迭代法以及牛頓下山法。有限元求解器一般會根據(jù)實際情況自動選擇最合適的那種，幫助文檔中一般不會講得很細(xì)。

下面請聽我一一道來。

1、常規(guī)牛頓迭代法

若不存在加速度和阻尼，有限元算法可以簡化為求解平衡方程?

?，其中剛度矩陣K和載荷F為已知條件，通常需要計算剛度矩陣K的逆矩陣從而求解位移矩陣X。

常規(guī)牛頓迭代法如下圖所示，注意曲線L(u)并不是已知的，而是逐步求解出來的，下面詳細(xì)說明求解過程。

假設(shè)分析步總載荷為100N，非線性算法中一般會分多次加載，比如分5次加載每次增加20N，5次加載過程稱為5個增量步；每次加載時需要多次迭代才會達到平衡狀態(tài)，稱為迭代步，迭代時使用的算法就是牛頓迭代法。

假設(shè)在第n個迭代步時，需要加載大小為 f 的力，下面開始迭代，迭代順序依次為：A>B>C>D>E。

常規(guī)牛頓迭代法的優(yōu)點是收斂速度快。

2、修正的牛頓迭代法

常規(guī)牛頓迭代法每次迭代都是求解新的剛度矩陣K以及K的逆矩陣，計算量較大，如果剛度矩陣總是使用初始的?

?，并且保持不變，則可以不求解求逆矩陣，大大減少了計算量，這就是修正的牛頓迭代法，示意圖如下。

3、牛頓下山法

常規(guī)牛頓迭代法要求初始值必須在準(zhǔn)確值附近才會收斂，初始值不合適可能會導(dǎo)致結(jié)果不收斂。

通過引入下山因子，保證了牛頓迭代法的收斂性。

因此牛頓下山法收斂速度快，一定收斂，而且對初始值要求不高，相比常規(guī)牛頓迭代法更穩(wěn)健。