大家好，我是人見(jiàn)人踹，車(chē)見(jiàn)車(chē)爆胎的數(shù)學(xué)愛(ài)好者老碧，今天又來(lái)跟大家說(shuō)故事，哦，不，說(shuō)數(shù)學(xué)來(lái)了。小伙伴們一起來(lái)玩啊——每天五分鐘，數(shù)學(xué)更輕松！

上期我們聊到了，“無(wú)盡小數(shù)”的定義：

9用無(wú)盡小數(shù)來(lái)表示實(shí)數(shù)

既然要達(dá)到用“無(wú)盡小數(shù)”表示實(shí)數(shù)的目的，自然地，就先得對(duì)“無(wú)盡小數(shù)”下一個(gè)定義。

（注：我們知道任何一個(gè)“十進(jìn)小數(shù)”都分為“整數(shù)部分”和“小數(shù)部分”，而真正在這個(gè)定義的驗(yàn)證的重點(diǎn)是“小數(shù)部分”，因?yàn)椤罢麛?shù)部分”總可以用一個(gè)確定的整數(shù)（正，0，負(fù)）來(lái)表示，小數(shù)部分的情形則比較復(fù)雜。

以我們都知道的根號(hào)2為例，我們可以知道它小數(shù)部分的前有限位，哪怕1億億億億位，但是我們無(wú)法給定它小數(shù)部分的全部——于是如何通過(guò)一個(gè)對(duì)象的局部去推斷整體，就成為了數(shù)學(xué)中間一個(gè)重要的命題，即“分析學(xué)”的核心目的。）

書(shū)中首先給出了關(guān)于“十進(jìn)小數(shù)”的一個(gè)簡(jiǎn)要說(shuō)明：

接著，書(shū)上先考慮了情形一——

1.不是有盡小數(shù)（含整數(shù)）——我們還不知道這種小數(shù)是什么情況，我們要去定義它。

這里用到的方法就是老碧之前介紹過(guò)的“構(gòu)造法”，意思也很簡(jiǎn)單，由“有理數(shù)分劃”的定義出發(fā)：

1. 下組取整數(shù)N，上組取整數(shù)M，那么界數(shù)必然位于兩數(shù)之間。

2. 令N+1=N1，比較N1與界數(shù)——

   如果N1大于界數(shù)，則終止操作，令N=C0；

   如果N1不大于界數(shù)——

   則令N2=N1+1，如果N2大于界數(shù)，則終止操作，令N1=C0；

   如果N2不大于界數(shù)——

   ……

   將該步驟進(jìn)行下去，總會(huì)取得一個(gè)數(shù)，使得Nk小于界數(shù)，Nk+1大于界數(shù)，令Nk=C0即可；

   界數(shù)位于C0與C0+1之間（在這個(gè)過(guò)程中取不到界數(shù)的原因在于，操作中任何一個(gè)數(shù)都是整數(shù)，而界數(shù)不是整數(shù)）。

3. 因?yàn)槭鞘M(jìn)小數(shù)，所以，C0與C0+1之間的一位小數(shù)有九個(gè)，記為C0.1，C0.2，C0.3，C0.4，C0.5，C0.6，C0.7，C0.8，C0.9，這九個(gè)數(shù)將C0與C0+1之間均分為十等份，而界數(shù)必然落在其中某一個(gè)小區(qū)間，記區(qū)間較小的端點(diǎn)為C0.c1，即界數(shù)落在C0.c1與C0.c1+1/10之間（依然界數(shù)不會(huì)跟任何一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)重合，因?yàn)樵?span id="s0sssss00s" class="color-pink-02 font-size-16">界數(shù)不是有盡小數(shù)）。

4. 因?yàn)榻鐢?shù)不是“有盡小數(shù)（含“整數(shù)”）”，所以類(lèi)似3的步驟可以一直進(jìn)行下去，對(duì)于任意的n，都存在有盡小數(shù)C0.c1c2……cn，使得界數(shù)位于C0.c1c2……cn與C0.c1c2……cn+1/10^n之間，每一步得到的有盡小數(shù)，都與我們要構(gòu)造的數(shù)的距離更近。

5. 那么，將過(guò)程推向無(wú)限，最終會(huì)得到的，就是上述一連串有盡小數(shù)無(wú)限靠近的那個(gè)數(shù)值，即這一列數(shù)的極限，還記得老碧在Ep8中提到過(guò)“極限論里有一個(gè)重要常識(shí)就是—一個(gè)變量的極限，這個(gè)變量不一定能達(dá)到”嗎？于是我們就從無(wú)限的操作中得到了對(duì)那個(gè)不是“有盡小數(shù)”的數(shù)——C0.c1c2……cn……——我們稱(chēng)之為“無(wú)盡小數(shù)”

這樣我們就得到了“無(wú)盡小數(shù)”的精確定義，而類(lèi)似于“無(wú)理數(shù)”的感性認(rèn)知是“數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的不是有理數(shù)的數(shù)”——更樸素的“無(wú)盡小數(shù)”的定義僅僅是“不是整數(shù)，且，不是有盡小數(shù)的數(shù)”，我們以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合“十進(jìn)小數(shù)”的定義，導(dǎo)出了“無(wú)盡小數(shù)”。

那么我們導(dǎo)出“無(wú)盡小數(shù)”的目的是為了得到另一種關(guān)于實(shí)數(shù)的表示法， 那么我們下一步必然要驗(yàn)證，“整數(shù)”或者“有盡小數(shù)”也有“無(wú)盡小數(shù)”的表示法，這樣，所有的實(shí)數(shù)就都可以統(tǒng)一在“無(wú)盡小數(shù)”這一個(gè)形式之下，也就得到了實(shí)數(shù)的另一個(gè)定義。

書(shū)上給出了這個(gè)表示法：

亦即是說(shuō)，任何一個(gè)整數(shù)或者有盡小數(shù)都對(duì)應(yīng)兩種表示形式。比如3.5可以表示為3.500000……或者3.499999……，這種形式是由我們定義“無(wú)盡小數(shù)”的方式得到的，我們?cè)囍凑铡盁o(wú)盡小數(shù)”的構(gòu)造過(guò)程來(lái)求出整數(shù)或者有盡小數(shù)的表示方式——

1. 對(duì)于“整數(shù)”C，顯然，對(duì)于任意自然數(shù)n，C-1/10^n<C<C+1/10^n，隨著n的無(wú)限增大，這兩個(gè)數(shù)與C的距離可以要多小有多小，也就是說(shuō)，C兩邊的數(shù)的極限為C，而這兩個(gè)數(shù)的極限分別是“無(wú)盡小數(shù)”（C-1）.99999……與C.00000……，即為C；

2. 對(duì)于“有盡小數(shù)”C.c1c2……ck，顯然對(duì)于任意自然數(shù)n>k,即n最小是k+1，C.c1c2……ck-1/10^n<C.c1c2……ck<C.c1c2……ck+1/10^n，隨著n的無(wú)限增大，這兩個(gè)數(shù)與C.c1c2……ck的距離可以要多小有多小，也就是說(shuō)，C.c1c2……ck兩邊的數(shù)的極限為C.c1c2……ck，而這兩個(gè)數(shù)的極限分別是“無(wú)盡小數(shù)”C.c1c2……（ck-1）99999……與C.c1c2……ck00000……，即為C.c1c2……ck。

由此可見(jiàn)，“整數(shù)”或者“有盡小數(shù)”也可以表示成“無(wú)盡小數(shù)”的形式，類(lèi)似于“有理數(shù)確定的有理數(shù)分劃”，它們也都分別對(duì)應(yīng)兩種表示方式。這兩種形式是等效的。更嚴(yán)格的證明，我們?cè)缭贓p2就已經(jīng)給出了。

自此，我們證明了，任給一個(gè)實(shí)數(shù)，都能找到“無(wú)盡小數(shù)”與之對(duì)應(yīng)，明天我們繼續(xù)來(lái)看反過(guò)來(lái)是否成立?！谓o一個(gè)“無(wú)盡小數(shù)”，總能找到一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)——即總能找到一個(gè)“有理數(shù)分劃”與之對(duì)應(yīng)。

注：本著“消歧義性”的原則，往往任何一本教材會(huì)給定，選擇哪一種“無(wú)盡小數(shù)”形式來(lái)表示“有盡小數(shù)”或者“整數(shù)”，這樣就實(shí)現(xiàn)了，每一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的“無(wú)盡小數(shù)”是唯一的。