用離散馬可夫鏈對(duì)Minecraft中隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)易建模，以及派生的結(jié)論與猜想
（大概率是高射炮打蚊子）
轉(zhuǎn)移矩陣和轉(zhuǎn)移圖
假設(shè)每次隨機(jī)刻選取時(shí)有 p 的概率增長(zhǎng)一階段，在增長(zhǎng) Q?次后到達(dá)最終狀態(tài)并且停止增長(zhǎng)，那么它有 0～Q 總共 Q+1 個(gè)狀態(tài)，并且有如下的 (Q+1)×(Q+1) 大小的概率矩陣 P ：除最后一行外，對(duì)角線上的概率是 1-p （不增長(zhǎng)），對(duì)角線右側(cè)一列的概率是 p （增長(zhǎng)一階段）最后一行上的最后一列概率是 1 （被收割前永遠(yuǎn)停留在這里）；其余位置是 0.
概率矩陣也可以當(dāng)作一個(gè)狀態(tài)機(jī)，或者權(quán)重為概率的有向圖解讀。
以金合歡文章[1] 中的煉藥鍋（細(xì)雪或水）的概率為例，假設(shè) p = 15 / 256 / 4049, 那么有如下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖（使用 matlab 繪制）
初始分布，收割，穩(wěn)定分布和極限分布
一般會(huì)假設(shè)初始時(shí)所有作物都是在狀態(tài) 0,那么初始的概率分布是一個(gè) 1×(Q+1) 的向量?α，并且只有在第一列的概率為 1：α = [1 0 0 ... 0]。并且在 n 次選擇后，各狀態(tài)的概率分布是 αP^n.
以煉藥鍋（細(xì)雪或水）為例，計(jì)算結(jié)果與金合歡在的 Excel 表格中的計(jì)算結(jié)果（對(duì)應(yīng) αP^n 的最后一列）吻合：
gt = 36000, αP^(gt*3) = [0.2133??? 0.3296??? 0.2546??? 0.2025], 金合歡的結(jié)果：0.2025
gt = 60000, αP^(gt*3) = [0.0762??? 0.1961??? 0.2525??? 0.4753], 金合歡的結(jié)果：0.4753
…………
除此之外，我們還可以將收割納入考慮：收割會(huì)將狀態(tài)為 Q 的設(shè)置為狀態(tài) 0 使其重新生長(zhǎng)，于是等價(jià)為如下的 (Q+1)×(Q+1) 矩陣 H（取 Harvest 的首字母 H）：除最后一行外H的對(duì)角線上是 1,最后一行上第一列是 1,其余位置是 0.
假設(shè)每 n 次選擇后收割一次，重復(fù)該過(guò)程 m 次，對(duì)收割耗時(shí)忽略不計(jì)，那么概率分布就是 α(P^n H)^m. 類(lèi)似地，先收割再等待會(huì)產(chǎn)生 α(H P^n)^m 的概率分布。
依然以煉藥鍋（細(xì)雪或水）為例，100000 次選擇 （正常情況下是 100000/3/20/3600 = 0.46 小時(shí)）之后收割一次，會(huì)發(fā)現(xiàn)在僅僅幾次收割之后，收割后的概率分布趨近于?[0.5067??? 0.2279??? 0.2655???????? 0]。并且與初始分布?α 無(wú)關(guān)?？梢哉J(rèn)為這就是 (P^100000 H) 的極限分布。
α = [1 0 0 0], α(P^100000 H)^1 = [0.4131??? 0.3422??? 0.2447???????? 0]
α = [1 0 0 0], α(P^100000 H)^5 = [0.5066??? 0.2279??? 0.2655???????? 0]
α = [1 0 0 0], α(P^100000 H)^10 = [0.5067??? 0.2279??? 0.2655???????? 0]
α = [0 1 0 0], α(P^100000 H)^10 = [0.5067??? 0.2279??? 0.2655???????? 0]
α = [1/4 1/4 1/4 1/4], α(P^100000 H)^10 = [0.5067??? 0.2279??? 0.2655???????? 0]
因此這里提出以下猜想（證明難度不高，但是懶）
對(duì)于所有 n >= 1，(P^n H) 存在一個(gè)唯一的穩(wěn)定分布，并且是極限分布；(H P^n) 亦然。
隨著 m 趨近正無(wú)窮 (P^n H)^m 可以快速收斂到極限分布；(H P^n)^m 亦然。 （猜想 1, 2 可以簡(jiǎn)化對(duì)收割效率的計(jì)算）
可以方便地求出 m 次后的期望收獲量 E(m)：即對(duì)每次收割前，在狀態(tài) Q 的概率進(jìn)行求和。
使 m 趨近正無(wú)窮后，平均單位時(shí)間收益，即 lim m->∞, E(m) / (m*n) 最大化的 n 在可能的取值范圍 n >= 1 內(nèi)只有一個(gè)，并且存在解析解。
引用
金合歡. 隨機(jī)刻事件 概率通用計(jì)算方法. https://www.bilibili.com/read/cv22832459
Robert P Dobrow, Introduction to Stochastic Processes with R, https://doi.org/10.1002/9781118740712
