一、整除問題及應(yīng)用

1、若a、b能被c整除，則a+b、a-b也能被c整除

2、若一個(gè)數(shù)能被3、9整除，那么這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被3、9整除

3、若一個(gè)數(shù)能被2或5、4或25、8或125整除，那么這個(gè)數(shù)的末位、末兩位、末三位能被2或5、4或25、8或125整除，

4、對(duì)于y=（a/b）x，（x、y均為整數(shù)），那么可得出：x是b的倍數(shù)，y是a的倍數(shù)。

對(duì)于純整除問題（即題目中有“整除”或“乘積”的明確字樣），3、9的整除性質(zhì)是最常見的考察方式，應(yīng)優(yōu)先思考應(yīng)用。

【例題1】（2019北京）

某企業(yè)有甲和乙兩個(gè)研發(fā)部門。其中甲部門有35%的員工有海外留學(xué)經(jīng)歷，乙部門有32%的員工有海外留學(xué)經(jīng)歷。已知甲部門員工比乙部門員工多20人，則兩個(gè)研發(fā)部門最少可能有多少人沒有海外留學(xué)經(jīng)歷？

A、132

B、146

C、160

D、174

1、解題思路

出現(xiàn)比例的形式，且求解的對(duì)象是人，肯定是整數(shù)，故我們可以考慮整除性質(zhì)

2、進(jìn)行計(jì)算

已知

甲部門留學(xué)員工=35%甲部門總?cè)藬?shù)=7/20甲部門總?cè)藬?shù)，故甲部門總?cè)藬?shù)是20的倍數(shù)

乙部門留學(xué)員工=32%乙部門總?cè)藬?shù)=8/25乙部門總?cè)藬?shù)，故乙部門總?cè)藬?shù)是25的倍數(shù)

題目讓求最少，當(dāng)總?cè)藬?shù)最少時(shí)，即可滿足題目要求

思路一：采用假設(shè)法

假設(shè)乙部門是25人，則甲部門是45人，不等于20的倍數(shù)，故乙部門不可能是25人

假設(shè)乙部門是50人，則甲部門是70人，不等于20的倍數(shù)，故乙部門不可能是50人

假設(shè)乙部門是75人，則甲部門是95人，不等于20的倍數(shù)，故乙部門不可能是75人

假設(shè)乙部門是100人，則甲部門是120人，等于20的倍數(shù)，故假設(shè)成立

思路二：采用求最小公倍數(shù)

由于甲部門剛好比乙部門人數(shù)多一倍自身，故我們可以先求出最小公倍數(shù)，然后讓甲部門的人數(shù)在最小公倍數(shù)的基礎(chǔ)上，再加上一倍自身即可。

20和25的最小公倍數(shù)是100，則乙部門為100人，甲部門為120人

故

甲部門非留學(xué)員工=120×13/20=78人

乙部門非留學(xué)員工=100×17/25=68人

故總的非留學(xué)員工人數(shù)為146人。

【例題2】（2021上海）

公司購(gòu)買某設(shè)備24套，現(xiàn)要登記單價(jià)，但是數(shù)據(jù)上沒有標(biāo)注單價(jià)，且總價(jià)第一位和最后一位模糊不清，只看到是??579△。則??可能是幾：

A、3

B、5

C、7

D、9

1、解題思路

求單價(jià)，那么總價(jià)肯定是24的倍數(shù)，而24是3和8的倍數(shù)，即總價(jià)是3和8的倍數(shù)。所以，我們可以利用整數(shù)性質(zhì)來(lái)反推總價(jià)的數(shù)字構(gòu)成。

2、進(jìn)行計(jì)算

由??579△是8的倍數(shù)可知，總價(jià)的后三位能被8整除，即79△能被8整除，得△=2

??5792能被3整除，可知??+5+7+9+2=23+??是3的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，??只能是7

二、余數(shù)問題及應(yīng)用

題目中出現(xiàn)整除余數(shù)時(shí)，可考慮朝余數(shù)問題思考。

1、余同取余

當(dāng)某個(gè)被除數(shù)，除以多個(gè)數(shù)，且余數(shù)相同時(shí)，該被除數(shù)=除數(shù)的最小公倍數(shù)+余數(shù)

例：一個(gè)數(shù)除3余1，除5余1，除6余1，則被除數(shù)為30n+1

2、和同加和

當(dāng)某個(gè)被除數(shù)，除以多個(gè)數(shù)，且除數(shù)與余數(shù)的和相等時(shí)，該被除數(shù)=除數(shù)的最小公倍數(shù)+（除數(shù)與余數(shù)之和）

例：一個(gè)數(shù)除7余1，除6余2，除5余3，則被除數(shù)為210n+8

3、差同減差

當(dāng)某個(gè)被除數(shù)，除以多個(gè)數(shù)，且除數(shù)與余數(shù)之差相等時(shí)，該被除數(shù)=除數(shù)的最小公倍數(shù)-（除數(shù)與余數(shù)之差）

例：一個(gè)數(shù)除7余3，除6余2，則被除數(shù)為42n-4

【例題3】（2019山東）

一個(gè)盒子里有乒乓球100多個(gè)，如果每次取5個(gè)出來(lái)最后剩下4個(gè)，如果每次取4個(gè)出來(lái)最后剩下3個(gè)，如果每次取3個(gè)出來(lái)最后剩2個(gè)，那么每次取12個(gè)出來(lái)最后剩多少個(gè)？

A、11

B、10

C、9

D、8

1、解題思路

判斷題型為余數(shù)問題，且5-4=4-3=3-2=1，可以利用差同減差的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算

2、進(jìn)行計(jì)算

數(shù)字3、4、5的最小公倍數(shù)為60，則總的乒乓球個(gè)數(shù)為60N-1，結(jié)合題目已知條件乒乓球?yàn)?00多個(gè)，則令N=2

則總的乒乓球個(gè)數(shù)為119，119/12余11。

三、數(shù)列問題

1、等差數(shù)列

（1）通項(xiàng)公式

an=a1+（n-1）d

（2）求和公式

Sn=n（a1+an）/2

若等差數(shù)列是奇數(shù)項(xiàng)，則平均數(shù)=等差中項(xiàng)，Sn=n×等差中項(xiàng)；等差數(shù)列的平均數(shù)=（a1+an）/2。求和可以抓住等差中項(xiàng)，求出平均數(shù)，然后用項(xiàng)數(shù)×等差中項(xiàng)即可。

2、等比數(shù)列

（1）通項(xiàng)公式

an=a1×q^(n-1)

（2）求和公式

Sn=a1（1-q^n）/(1-q)

【例題4】（2016聯(lián)考）

某商店10月1日開業(yè)后，每天的營(yíng)業(yè)額均以100元的速度上漲，已知該月15號(hào)這一天的營(yíng)業(yè)額為5000元，問該商店10月份的總營(yíng)業(yè)額為多少元？

A、163100

B、158100

C、155000

D、150000

1、解題思路

已知等差d=100，a15為5000，則可根據(jù)通項(xiàng)公式來(lái)計(jì)算，然后再用求和公式來(lái)算即可

2、進(jìn)行計(jì)算

思路一（套公式）

由an=a1+（n-1）d得：

a15=a1+（15-1）×100?a1=3600

a31=a1+（31-1）×100?a31=6600

由Sn=n（a1+an）/2得：

Sn=31（3600+6600）/2=158100

思路二（找等差中項(xiàng)）

共有31項(xiàng)，則第16項(xiàng)為等差中項(xiàng)

a16=a15+100=5100

Sn=n×等差中項(xiàng)=31×5100=158100