摘要：本文提出一種方法，用以模擬琵琶或五弦等樂器的音色。其要點(diǎn)在于采用激發(fā)源-濾波器的模型，其中與琴弦有關(guān)的參數(shù)影響了激發(fā)源，與面板和琴體乃至麥克風(fēng)的空間位置有關(guān)的參數(shù)影響了濾波器。實(shí)踐上采用倒譜分析的方法，對(duì)采樣進(jìn)行激發(fā)源和濾波器特征的分離，得到激發(fā)源的分量特征以及濾波器的頻譜包絡(luò)（頻率響應(yīng)曲線）。最后合成時(shí)，為使聲音較為悅耳，可在數(shù)據(jù)允許的范圍內(nèi)，對(duì)分量特征和頻率響應(yīng)峰值進(jìn)行人工微調(diào)。

迄今為止，我們發(fā)現(xiàn)鮮有令人滿意的五弦琵琶音色庫或VST。其主要原因在于，目前缺少質(zhì)量上乘的正倉院式五弦琵琶單音的錄音采樣，而這主要?dú)w根于復(fù)原的該樂器價(jià)格依然十分昂貴，而吝嗇的主人并不愿意（或是沒有能力）進(jìn)行良好的錄音采樣工作。雅樂琵琶（或唐琵琶）雖然價(jià)格稍低，但需求量很低，其音色庫極少，質(zhì)量雖然勉強(qiáng)尚可，但價(jià)格與實(shí)用價(jià)值并不匹配。如截取視頻中的琵琶/五弦聲音制作音色庫，會(huì)面臨壓縮算法導(dǎo)致音色下降的問題，更有許多視頻之中的樂器是鋼弦竹品的改造“復(fù)原品”，其音色的參考價(jià)值較低。

因此，為了解決這些問題，我們必須從有限的樣本之中分析出固定的聲學(xué)特征，這些特征描畫了該樂器的聽覺辨識(shí)性。從理論上來說，一旦我們能夠推知該樂器對(duì)空間任一位置任一反射環(huán)境的波形影響，那么這個(gè)任務(wù)就完全解決了。但是，實(shí)際上根據(jù)現(xiàn)有樣本，這是難以解決的問題：原因在于不僅需要量化形狀大小和內(nèi)腔尺寸，還需對(duì)已有樣本去空間混響，這顯然是無法做到的，因?yàn)殇浺舻囊糍|(zhì)不僅奇差，其錄音室的尺寸參數(shù)也完全沒有提及。因此此處我們需作一妥協(xié)：認(rèn)為它們?cè)跒V波器頻響曲線上有影響，但是因?yàn)殡y以推知，只在最后手動(dòng)微調(diào)的時(shí)候考慮去除一些效果不佳的峰值。

我們現(xiàn)在進(jìn)行影響因素分析：

在弦的方面，它給琴橋（覆手）輸出一個(gè)激勵(lì)波形，該波形與系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)雜的作用以后，則變成了琴橋的響應(yīng)波形。推算激勵(lì)波形的時(shí)候，其主要依據(jù)是弦振動(dòng)方程，其中的主要參數(shù)有：弦的線密度，弦的張力，撥弦參數(shù)；次要參數(shù)有：空氣阻力，剛度，原子耗散系數(shù)。我們忽略掉原子耗散系數(shù)，并把琴橋末端的阻力合計(jì)入空氣阻力之中。而琴橋的響應(yīng)波形，則是被琴橋的響應(yīng)曲線和激勵(lì)波形共同決定；因?yàn)橄沂艿降哪┒俗枇εc琴橋的響應(yīng)曲線和響應(yīng)波形有關(guān)，這里理論上可以使用迭代的手法進(jìn)行復(fù)雜地求解。因?yàn)槲覀內(nèi)狈η贅蝽憫?yīng)曲線的數(shù)據(jù)，以及為簡(jiǎn)化計(jì)算的緣故，使用琴橋響應(yīng)波形相似于樂器振動(dòng)的錄音相位轉(zhuǎn)過90度的假設(shè)，直接采用以余弦計(jì)算、并用經(jīng)驗(yàn)修正分量強(qiáng)度的“琴橋垂直受力波形”來作為琴橋的響應(yīng)波形。

這里有一個(gè)需要注意的問題：根據(jù)弦振動(dòng)方程，末端的受力角度實(shí)際是不連續(xù)的：例如+1度持續(xù)半個(gè)周期，突然變成0，而后變成-1度半個(gè)周期；即使算進(jìn)剛度項(xiàng)，這個(gè)問題也仍舊存在。所以，采用半經(jīng)驗(yàn)的方法，采用數(shù)值分析得來的倍頻強(qiáng)度An代入tan(theta)=求和An*Cos[2pi*fn*t]則是一條解決辦法；與此類似的還有tan(theta)=求和n*An*Cos[2pi*fn*t],后者更接近“半經(jīng)驗(yàn)修正”的原意，因?yàn)槎喑鰜淼膎來自于末端對(duì)空間求導(dǎo)時(shí)候產(chǎn)生的系數(shù)n。筆者更加偏向前者，一來是前者效果好，在最終合成結(jié)果里不產(chǎn)生金屬雜音；二來是因?yàn)閺臉颖镜募ぐl(fā)源數(shù)據(jù)推知的頻譜分量強(qiáng)度，道理上講就是激勵(lì)項(xiàng)的分量強(qiáng)度。

在面板和腔體的方面，我們的面板為頻響曲線貢獻(xiàn)多個(gè)特征頻率，腔體則是具備一個(gè)特征頻率的亥姆霍茲共振器。影響面板的特征頻率的因素有：楊氏模量、密度、厚度、泊松比，剪切模量，尺寸形狀，背后的支撐，等等。影響腔體特征頻率的因素則主要是腔體體積和開口。面板的特征頻率，常能在濾波器的頻響曲線中看到峰值，但也有部分缺失。推算面板特征頻率的方式，一般是有限元法，這其中的近似，只是精度層面上的。推算腔體的特征頻率，則有現(xiàn)成的公式。

于是我們得出了方法：

1、計(jì)算激發(fā)源波形（琴橋的波形響應(yīng)/振動(dòng)波形）：

定義:yn=弦振動(dòng)方程解的（不帶歸一化系數(shù)8h/pi^2的）第n項(xiàng)時(shí)間部分=An*Cos[2*pi*fn*t].

其中fn是各項(xiàng)頻率，后文給出公式。

定義撥弦參數(shù)：撥弦高度h，撥弦位置比例（占總弦長的比例）x，弦長L.

其中，如果按照傳統(tǒng)弦振動(dòng)方程，則An=Sin[a*pi*n]/n^2.

定義：基礎(chǔ)弦張力T0，ES=楊氏模量*弦的截面積。

定義：yn_corr=被經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)修正的yn。

激發(fā)源波形Ex=tan(theta)*T=求和[yn_corr]*(T0+[16ES*h^2/(pi^2*L^2*x*(1-x))]*求和[(yn_corr)^2] )；

例：T0=64.9N，[16ES*h^2/(pi^2*L^2*a*(1-a))]=2.51N.

定義：Inharmonic Constant: B=pi^2*ESI/(TL^2)=pi^2*E*a^4/(16TL^2). 其中a是截面半徑。

定義：弦的阻尼常數(shù)c。例：c的常見范圍是1.28（純空氣）到3.55（加算末端阻力）。

各項(xiàng)的頻率fn=sqrt(f0^2*n^2*(1+B*n^2)-c^2/4),其中f0是無修正弦振動(dòng)方程得出的基頻，服從通常公式的計(jì)算。

2、應(yīng)用濾波器頻響曲線。

設(shè)濾波器頻響曲線Resp為已知。

首先對(duì)激發(fā)源波形Ex進(jìn)行傅里葉變換：

z=fft(Ex);

然后乘上頻響曲線：

z1=Resp.*z;

最后反傅里葉變換得到輸出：

output=real(ifft(z1));

注意要舍棄虛部。

得到的輸出，常常會(huì)出現(xiàn)開頭的數(shù)個(gè)周期波形在數(shù)據(jù)的尾端出現(xiàn)，故需要作圖觀察以后，將其校正回?cái)?shù)據(jù)頭部。

附：如何由樣本得到激發(fā)源波形和濾波器的頻響曲線：

設(shè)有樣本x。求實(shí)倒譜得到u=rceps（x）。

算出x的基頻所在的倒頻率，對(duì)u截取小于這個(gè)倒頻率一半或者3/4的頭部部分u1，即是濾波器頻響曲線的實(shí)倒譜；剩余基頻對(duì)應(yīng)的倒頻率附近以及高于此值的尾部部分（記為u2），即是激發(fā)源。

而后u2進(jìn)行傅里葉變換，取實(shí)部，指數(shù)化，最后反傅里葉變換，舍去虛部就得到對(duì)應(yīng)的激發(fā)源。

ex=real(ifft(exp(real(fft(u2)))));

u1進(jìn)行傅里葉變換，取實(shí)部，然后指數(shù)化，就得到濾波器的頻率響應(yīng)。

resp=exp(real(fft(u1)));

附：濾波器頻響曲線的調(diào)整與人工修正：

頻響曲線具備峰值，可以讀出強(qiáng)度和頻率。面板的特征頻率應(yīng)當(dāng)和頻響曲線的峰值對(duì)應(yīng)。而面板的特征頻率特征振型本身好似一個(gè)帶阻尼的彈簧，適用于一個(gè)二階常微分方程。因此我們能夠容易地寫出它的傅里葉變換或拉普拉斯變換。根據(jù)特征頻率和峰值好像彈簧和二階常微分方程的聯(lián)系，就可以算出該特征頻率下頻率響應(yīng)函數(shù)本身——注意這個(gè)是復(fù)值的，或者說補(bǔ)全了相位響應(yīng)信息。

由此一來，可以將每個(gè)頻響曲線的峰值和特征頻率分解成一個(gè)小的“彈簧”共振器，再將其按照強(qiáng)度大小組合起來。對(duì)于面板的有限元分析預(yù)言了的、卻未在頻響曲線中發(fā)現(xiàn)峰值的特征頻率和振型，也可以依照頻響曲線的對(duì)應(yīng)值，給予一個(gè)強(qiáng)度數(shù)量來補(bǔ)全。腔體作為亥姆霍茲共振器的部分，也可以由此分析得到數(shù)據(jù)。

此時(shí)我們調(diào)節(jié)相對(duì)強(qiáng)度就可以改變這些共振器組的頻率響應(yīng)，進(jìn)而改變整個(gè)頻響曲線。無論是把改變后的頻響曲線用于（2）中方法的數(shù)位合成，還是構(gòu)造模擬實(shí)現(xiàn)進(jìn)行模擬合成，都是方便的。

附：由樣本激發(fā)的激發(fā)源的利用方式：

我們一般不直接利用這個(gè)激發(fā)源，因?yàn)樗旧淼母哳l雜音一般較多。因此我們用于分析倍頻數(shù)據(jù)，擬定（1）之中用于修正yn的“經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)”。

解釋：為何人工修正部分?jǐn)?shù)據(jù)是必要的？

原因在于樣本的音質(zhì)較差，且我們的目的是編制合適的音色，以供實(shí)用。數(shù)據(jù)分析提供了合理的樂器參考數(shù)據(jù)，在不失真允許的范圍內(nèi)，可以而且應(yīng)當(dāng)進(jìn)行一定的人工修正，使得結(jié)果更加悅耳動(dòng)聽。

我們的琵琶和五弦常常使用調(diào)整定弦的方式來演奏不同的調(diào)式，此時(shí)會(huì)造成聲學(xué)參數(shù)的少許改變；因此根據(jù)弦的特征頻率，還可以增加頻響曲線之中對(duì)應(yīng)的共振峰。

由于一種調(diào)弦法的音色是具備整體性的，這啟示我們?cè)谡{(diào)整參數(shù)以及試聽判斷的時(shí)候，要按照調(diào)弦法來進(jìn)行。

解釋：如何解決左手按音、叩、弛一類問題？

左手按音和撥子的實(shí)音是不一樣的。其發(fā)聲機(jī)理略有不同，并不僅僅是音量的大小不一樣。因此，它適用的激勵(lì)模型肯定也有差別。例如上述的模型是普通撥弦，假定了弦上各點(diǎn)有初始位移卻無初始速度；而按音既有初始位移，也有初始速度。但，參考鋼琴弦模型的初始位移=0和初始速度不=0，會(huì)發(fā)現(xiàn)僅是聲音之中倍頻的系數(shù)和初始的相位有不同。

因此，我們也應(yīng)當(dāng)從這兩部分入手，通過分析數(shù)據(jù)，修正頻率分量的強(qiáng)度，以及加入相位因素，來解決這些演奏方法的問題。一言以蔽之，仍然是分析數(shù)據(jù)后的半經(jīng)驗(yàn)性聲音合成問題。

在缺少數(shù)據(jù)的情況下，可考慮通過F=kx^b的琴弦受力響應(yīng)，使用其他樂器的數(shù)據(jù)，推知按音時(shí)刻弦上的速度分布。