【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第三章整式?

§3-3多項(xiàng)式

1、多項(xiàng)式的概念

【01】讓我們來(lái)觀察下面這些代數(shù)式：? 。這些代數(shù)式里，因?yàn)槎紱]有用字母做除數(shù)，所以它們都是整式，但是它們都含有加減運(yùn)算符號(hào)，所以它們都不是單項(xiàng)式。

【02】我們可以把這些代數(shù)式看做是幾個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和，例如：a＋3 是 a 和＋3 的代數(shù)和； x－y是 x 和－y 的代數(shù)和；－x2＋xy＋3y2 是－x2，＋xy 和＋3y2 的代數(shù)和；?是??和－5 的代數(shù)和。

【03】我們把幾個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和叫做多項(xiàng)式。

2、多項(xiàng)式的項(xiàng)

【04】在多項(xiàng)式里的每一個(gè)單項(xiàng)式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)。根據(jù)多項(xiàng)式里所含有的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，就叫這個(gè)多項(xiàng)式是幾項(xiàng)式。例如，在上面這些多項(xiàng)式里，a＋3 和 x－y 都是二項(xiàng)式；－x2＋xy＋3y2是三項(xiàng)式；?是四項(xiàng)式。

【注意】多項(xiàng)式中的項(xiàng)，是包括它前面的正負(fù)號(hào)的。例如 x－y 的兩項(xiàng)是 x 和－y，不能說是 x 和 y? 。

3、多項(xiàng)式的次數(shù)

【05】在二項(xiàng)式 a＋3 里，第一項(xiàng) a 的次數(shù)是 1，我們把它叫做一次項(xiàng)，＋3 沒有字母，我們把它叫做常數(shù)項(xiàng)（或者叫做零次項(xiàng)），這里次數(shù)最高的項(xiàng)是一次項(xiàng)。

【06】在三項(xiàng)式 3x2－5x－1 里，第一項(xiàng) 3x2 的次數(shù)是2，我們把它叫做二次項(xiàng)，－5x 是一次項(xiàng)，－1 是常數(shù)項(xiàng)，這里次數(shù)最高的項(xiàng)是二次項(xiàng)。

【07】在四項(xiàng)式??里，次數(shù)最高的項(xiàng)是三次項(xiàng)－3x2? 。

【08】我們把一個(gè)多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式的次數(shù)是幾的，就叫做幾次多項(xiàng)式。

【09】例如：a＋3 是一次式；3x2－5x－1是二次式；?是三次式。

【10】又如：x3－x2y＋xy2－y3，它的四項(xiàng)的次數(shù)都是 3，它是關(guān)于 x 與 y 的三次式。

4、多項(xiàng)式的整理

【11】為了便于運(yùn)算，通常我們總要把一個(gè)多項(xiàng)式，按照一定的次序，整理成整齊而簡(jiǎn)潔的形式。多項(xiàng)式的整理，一般包括兩個(gè)內(nèi)容。

(ⅰ)排冪：

【12】我們來(lái)看多項(xiàng)式 x2－2－5x＋3x3，它是四個(gè)單項(xiàng)式 x2，－2，－5x，＋3x3 的代數(shù)和，這里第一項(xiàng)的次數(shù)是 2，第二項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)（或者說它的次數(shù)是 0），第三項(xiàng)的次數(shù)是 1，第四項(xiàng)的次數(shù)是 3? 。為了把它整理成整齊形式，通常我們應(yīng)該按照各項(xiàng)次數(shù)從大到小或者從小到大的順序，把它們重行排列起來(lái)。這種整理方法叫做排冪。

【13】例如：多項(xiàng)式 x2－2－5x＋3x3 可以重行排列成?3x3＋x2－5x－2……(1)? 或者。－2－5x＋x2＋3x3……(2)? 兩種形式。

【注】在有理數(shù)這一章里，我們已經(jīng)知道，在加法運(yùn)算中，可以交換加數(shù)的前后次序（加法交換律）。代數(shù)式里的字母都表示數(shù)，每個(gè)單項(xiàng)式表示的也就是數(shù)，所以我們可以象有理數(shù)加法一樣，交換多項(xiàng)式里各項(xiàng)的先后次序。

【14】我們看到，在(1)中，各項(xiàng)是按照字母 x 的冪的指數(shù)從大到小的順序來(lái)排列的，這種排列方法，叫做按這個(gè)字母的降冪排列；在(2)中，各項(xiàng)是按照字母 x 的冪的指數(shù)從小到大的順序來(lái)排列的，這種排列方法，叫做按這個(gè)字母的升冪排列。

例1.依照 x 的降冪排列，整理下列兩個(gè)多項(xiàng)式：(1) x2－2－5x?＋3x3；(2) 3－4x＋5x?－4x?＋x2－x3? 。

【解】整理后，得：

(1)－5x?＋3x3＋x2－2；(2) 5x?－4x?－x3＋x2－4x＋3? 。

【注意】多項(xiàng)式中的項(xiàng)，是包括它前面的性質(zhì)符號(hào)的。在排幕時(shí)，每一項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào)仍須看作是這一項(xiàng)的一個(gè)部分而一起移動(dòng)。如果原來(lái)的第一項(xiàng)省略掉性質(zhì)符號(hào)“＋”，搬到后面時(shí)就要補(bǔ)上這個(gè)“＋”號(hào)；如果原來(lái)的中間項(xiàng)搬到第一項(xiàng)而性質(zhì)符號(hào)是正的，也可以省略掉這一“＋”號(hào)，但性質(zhì)符號(hào)“－”不能省略。

例2.按的降冪排列整理下列多項(xiàng)式：(1) a3－3ab2＋5b3－6a2b；(2)－3ab＋b2－3a2? 。

【解】整理后，得(1) a3－6a2b－3ab2＋5b3；(2)－3a2－3ab＋b2? 。

例3.按 x 的升冪排列整理下列多項(xiàng)式：(1) x2－3x3＋5c－7；(2) y3－3x2y＋2xy2＋x3? 。

【解】整理后，得(1)－7＋5x＋x3－3x3；(2) y3＋2xy2－3x2y＋x3? 。

(ⅱ)合并同類項(xiàng)：

【15】我們來(lái)看多項(xiàng)式 3a2b－5ab2＋3a2b＋ab2＋a2b2? 。它是五個(gè)單項(xiàng)式3a2b，－5ab2，＋3a2b，＋ab2，＋a2b2 的代數(shù)和。這些單項(xiàng)式都只含有兩個(gè)字母，就是 a 和 b，并且：

【16】第一項(xiàng) 3a2b 和第三項(xiàng)?3a2b，a 的冪的指數(shù)都是 2，b 的冪的指數(shù)都是 1，系數(shù)也相同，這兩個(gè)項(xiàng)是完全一樣的。

【17】第二項(xiàng)－5ab2 和第四項(xiàng) ab2? 。a 的冪的指數(shù)都是 1，b 的冪的指數(shù)都是 2，這二項(xiàng)里只有系數(shù)不相同。

【18】多項(xiàng)式里具有這種性質(zhì)的兩個(gè)或幾個(gè)項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)。例如第一項(xiàng)?3a2b?和第三項(xiàng)?3a2b?是同類項(xiàng)，第二項(xiàng)－5ab2 和第四項(xiàng) ab2 也是同類項(xiàng)。一般地說，多項(xiàng)式里的某些項(xiàng)，如果彼此完全沒有差別，或者彼此只有系數(shù)不同，那末這些項(xiàng)就叫做同類項(xiàng)。

【19】常數(shù)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。

【注意】多項(xiàng)式里的兩個(gè)項(xiàng)雖然所含字母相同，但是相同字母的冪的指數(shù)不同，就不是同類項(xiàng)。例如 3a2b 和 3ab2 就不是同類項(xiàng)，3a2b 和 3a2b2 也不是同類項(xiàng)。

【20】在一個(gè)多項(xiàng)式里，同類項(xiàng)可以根據(jù)乘法對(duì)于加法的分配律，把它們合并成一項(xiàng)，例如：

【21】因此，根據(jù)加法的交換律和結(jié)合律，上面所提出的這個(gè)多項(xiàng)式可以寫成 (3a2b＋3a2b)＋(－5ab2＋ab2)＋a2b2? 。再合并同類項(xiàng)，把它化簡(jiǎn)成 6a2b－4ab2＋a2b2? 。

【22】把多項(xiàng)式里的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)，從上面的例子得到合并同類項(xiàng)法則：合并同類項(xiàng)，只要把系數(shù)相加，所得的和作為系數(shù)（字母部分連同它們?cè)瓉?lái)的指數(shù)仍舊不變）。

例4，整理下列多項(xiàng)式：5x?－3x2＋6－7x3＋12x?＋10x3＋2x2－3x3＋7＋10x? 。

【解】先按 x 的降冪排列，再合并同類項(xiàng)：

【注意1】為了便于整理，我們可以在同類項(xiàng)下面用橫線記號(hào)標(biāo)明，這樣就不至于重復(fù)或遺漏。

【注意2】－7x3＋10x3－3x3＝(－7＋10－3)x3＝0·x3＝0，這一項(xiàng)沒有了，因?yàn)?0 乘任何數(shù)等于 0? 。

例5.整理下列多項(xiàng)式：2a?－8a2b2－ab3＋5a3b＋3a?＋6ab3＋5b?＋8a2b2? 。

【解】按 a 的降冪排列，再合并同類項(xiàng)：

原式＝2a?＋3a?＋5a3b－8a2b2＋8a2b2－ab3＋6ab3＋5b?＝5a?＋5a3b＋5ab3＋5b?? 。

【說明】－8a2b2＋8a2b2＝0，這項(xiàng)沒有了。

習(xí)題3-3

1、說明下列多項(xiàng)式是幾項(xiàng)式，是幾次式，并指出它的次數(shù)最高的項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)：

2、整理下列多項(xiàng)式，按 a 或 x 的降冪排列：

3、合并下列多項(xiàng)式里的同類項(xiàng)：

4、整理下列多項(xiàng)式：

5、求當(dāng) x＝0.1 時(shí)，下列各式的值：

[提示：先整理多項(xiàng)式，再行代入，]【(1) 0.525，(2)?7.111】