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第 一章? 函數(shù)與極限

第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

一、函數(shù)的連續(xù)性

概念——

• 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果
  

????——那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)。

• 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果
  

????——那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)。

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

分類——

常見類型——

第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性

定理：設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，則它們的和（差）f+g，差f-g，積fg，商f/g

（當(dāng)g(x0)≠0時(shí)）都在點(diǎn)x0連續(xù)。

二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

定理——

• 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，那么它的反函數(shù)
  

????——也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)。

• 設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，
  

????——若

????——而函數(shù)y=f(u)在u=u0連續(xù)，則

• 設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，
  

????——若函數(shù)u=g(x)在x=x0連續(xù)，且g(x0)=u0，而函數(shù)y=f(u)在u=u0連續(xù)，

????——?jiǎng)t復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在x=x0也連續(xù)。

三、初等函數(shù)的連續(xù)性

結(jié)論——

1. 基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

2. 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的——

   定義區(qū)間：包含定義域的區(qū)間。

第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、有界性與最大值最小值定理

定理：（有界性與最大值最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

二、零點(diǎn)定理與介值定理

定理——

1. （零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（即f(a)f(b)<0），那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使f(ξ)=0。

2. （介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么，對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b)。

3. 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

三、一致連續(xù)性

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在著正數(shù)δ，使得對(duì)于區(qū)間I上的任意兩點(diǎn)x1、x2，當(dāng)|x1-x2|<δ時(shí)，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是一致連續(xù)的。

定理：（一致連續(xù)性定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上一直連續(xù)。