史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分——

&2.一階微分方程

一階微分方程——形如F（x，y，y'）=0的關(guān)系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，含有y的一階導(dǎo)數(shù)的方程。

&2.1分離變量的方程

分離變量的方程——形如dy/dx=f（x）=φ（x）/ψ（y）關(guān)系式。

方法——

1. 移項(xiàng)：φ（x）dx=ψ（y）dy；

2. 積分：∫φ（x）dx=∫ψ（y）dy。

例1：求微分方程（x^2）ydy+（1-y^2）^（1/2）dx=0?。

解——

1. 移項(xiàng)：（x^2）ydy=-（1-y^2）^（1/2）dx；

2. 將x和y放到一邊：-ydy/（1-y^2）^（1/2）=dx/（x^2）；

3. 積分：∫-ydy/（1-y^2）^（1/2）=∫dx/（x^2）；

4. 由求積分技巧解出兩邊的原函數(shù)：（1-y^2）^（1/2）=-1/x+c，c為任意常數(shù)。

5. 所以我們得出隱函數(shù)1/x+（1-y^2）^（1/2）=c是一個(gè)解，函數(shù)的定義域?yàn)閤不為0，y的取值范圍為[-1,1]；

6. 另外我們注意到，x=0，y=1或-1也是一個(gè)解。

例2：求向徑與切線垂直的曲線方程。

向徑——曲線上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線。

解——

1. 列出曲線的參數(shù)方程，x=x（t），y=y（t）；

2. 由解析幾何知識(shí)，向徑的向量即為（x，y），曲線的切向量為（x'，y'）；

3. 由解析幾何知識(shí)列出微分方程，xx'+yy'=0，即x（dx/dt）+y（dy/dt）=0，得到xdx+ydy=0；

4. 移項(xiàng)：xdx=-ydy；

5. 積分：∫xdx=∫-ydy；

6. 解得原函數(shù)為x^2/2=-y^2/2+c，即所求方程為x^2/2+y^2/2=c。