向量平移下的黎曼曲率張量的推導(dǎo)

2022-09-22 01:44 作者:Schlichting 0人讀過(guò) | 我要投稿

之前在錄概述的時(shí)候是半夜了，講多了腦子有點(diǎn)不清楚，這里特地把向量平移中的一些細(xì)節(jié)再補(bǔ)充一下，聯(lián)絡(luò)和基向量平移的概念不再敘述。

文中的平移思路來(lái)自于朗道在《場(chǎng)論》中的敘述，斯托克斯公式的簡(jiǎn)化版來(lái)自于視頻

【廣義相對(duì)論】?jī)尚r(shí)零基礎(chǔ)推導(dǎo)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程?https://www.bilibili.com/video/av12733229/，鏈接在視頻評(píng)論區(qū)有

一、局部差，平移差，全差

如圖所示， $x%5E%7B%5Cmu%7D$ 是一曲線坐標(biāo)系。在該曲線上取兩相鄰點(diǎn) $x%5E%7B%5Cmu%7D$ 與 $x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D$ ，其對(duì)應(yīng)的基向量為 $%5Cvec%7Bg%7D_1%20$ 與 $%5Cvec%7Bg%7D_2$ 。同時(shí)，在點(diǎn) $x%5E%7B%5Cmu%7D$ 處取一向量，記其分量為 $V%5E%7B%5Cnu%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D)$ ，在點(diǎn) $x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D$ 處的分量為 $V%5E%7B%5Cnu%7D%2BDV%5E%7B%5Cnu%7D$ 。同時(shí)，對(duì)向量 $V%5E%7B%5Cnu%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D)$ 做平移到 $x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D$ ,平移后的向量記為 $V%5E%7B%5Cnu'%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D)%E3%80%82$

由聯(lián)絡(luò)的分析可知，基向量在平移中會(huì)發(fā)生變化，這種變化全部由平移產(chǎn)生。向量分量作為向量對(duì)基向量的分解，也有類(lèi)似的情況。

這里定義兩點(diǎn)之間的向量變化有三種度量：

1.局部差：

向量 $V%5E%7B%5Cnu%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D)$ 在沿曲線平移到點(diǎn) $x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D$ 后，在新點(diǎn)處兩向量之間的差值。

記作 $dV%5E%7B%5Cnu%7D%3D(V%5E%7B%5Cnu%7D%2BDV%5E%7B%5Cnu%7D)(x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D)-V%5E%7B%5Cnu%E2%80%99%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D)%EF%BC%9B$

2.平移差：

向量 $V%5E%7B%5Cnu%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D)$ 在沿曲線平移到點(diǎn) $x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D$ 的過(guò)程中，向量發(fā)生的變化的差值。

記作 $%5Cdelta%20V%5E%7B%5Cnu%7D%3DV%5E%7B%5Cnu%E2%80%99%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D)-V%5E%7B%5Cnu%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D)%EF%BC%9B%0A$

3.全差：

向量 $V%5E%7B%5Cnu%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D)$ 在曲線兩點(diǎn) $x%5E%7B%5Cmu%7D%0A$ 與 $x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D$ 處，兩向量之間的總差值。

記作 $DV%5E%7B%5Cnu%7D%3D(V%5E%7B%5Cnu%7D%2BDV%5E%7B%5Cnu%7D)(x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D)-V%5E%7B%5Cnu%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D)%E3%80%82$

這里的定義與基向量的變化定義類(lèi)似。

關(guān)于局部差，按一般變化，可以用全微分描述： $dV%5E%7B%5Cnu%7D%3D%5Cpartial_%7B%5Cmu%7DV%5E%7B%5Cnu%7Ddx%5E%7B%5Cmu%7D%EF%BC%9B$

關(guān)于平移差，由基向量分析可知，其與向量本身，以及經(jīng)過(guò)的距離成正比，可以引入聯(lián)絡(luò)系數(shù)表示： $%5Cdelta%20V%5E%7B%5Cnu%7D%3D%5CGamma%5E%7B%5Cnu%7D_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D%20V%5Eidx%5E%7B%5Cmu%7D%0A$ ，其中 $%5CGamma%5E%7B%5Cnu%7D_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D$ 兩下指標(biāo)對(duì)稱(chēng)，滿足撓率為0。

關(guān)于全差，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可知， $DV%5E%7B%5Cnu%7D%3D(V%5E%7B%5Cnu%7D%2BDV%5E%7B%5Cnu%7D)(x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D)-V%5E%7B%5Cnu%E2%80%99%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D)%2B%0AV%5E%7B%5Cnu%E2%80%99%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D%2Bdx%5E%7B%5Cmu%7D)-V%5E%7B%5Cnu%7D(x%5E%7B%5Cmu%7D)%3D%0A%5Cdelta%20V%5E%7B%5Cnu%7D%2Bd%20V%5E%7B%5Cnu%7D%E3%80%82$

于是，將平移差與局部差帶入，可以得到： $DV%5E%7B%5Cnu%7D%3D(%5Cpartial_%7B%5Cmu%7DV%5E%7B%5Cnu%7D%2B%5CGamma%5E%7B%5Cnu%7D_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D%20V%5Ei)dx%5E%7B%5Cmu%7D%E3%80%82$

類(lèi)似與全微分，對(duì)全差引入協(xié)變導(dǎo)數(shù)：

$%5Cnabla_%7B%5Cmu%7D%3D%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D%2B%5CGamma%5E%5Cbullet%20_%7B%5Cmu%5Cbullet%20%7D$ ，則全差可簡(jiǎn)單的寫(xiě)為 $DV%5E%7B%5Cnu%7D%3D%5Cnabla_%7B%5Cmu%7DV%5E%7B%5Cnu%7Ddx%5E%7B%5Cmu%7D%E3%80%82$

二、黎曼曲率張量

現(xiàn)在考慮一個(gè)曲線回路上的向量平移。如上圖，左邊是一個(gè)圓錐，沿其母線 $OA$ 方向取一個(gè)向量 $%20%5Cvec%7BV%7D%20$ ?，F(xiàn)在，沿著 $OA$ 將其剪開(kāi)，形成一個(gè)不完整的圓，其中 $A$ 與 $A'$ 在圓錐上為重合。因此，向量 $%20%5Cvec%7BV%7D%20(A)$ 與 $%20%5Cvec%7BV%7D%20(A')$ 是相同的。

現(xiàn)在令該向量 $%20%5Cvec%7BV%7D%20(A)$ 從點(diǎn) $A$ 出發(fā)，沿圓弧平移一周回到點(diǎn) $A'$ ，記終向量為 $%20%5Cvec%7BV%7D%E2%80%99%20(A')$ ?？梢园l(fā)現(xiàn)， $%20%5Cvec%7BV%7D%20(A')$ 與 $%20%5Cvec%7BV%7D%E2%80%99%20(A')$ 是不同的，有角度上的差別。由于這里我們僅僅只是做了平移，這種誤差是由于純平移造成的，記作 $%5CDelta%20%5Cvec%7BV%7D%20$ 。

為了研究該差值，考慮到平移回路，因此理論上應(yīng)該對(duì)平移差取回路積分。為了方便書(shū)寫(xiě)，取向量的分量 $V%5E%7B%5Cnu%7D$ ，則回路誤差可以寫(xiě)作： $%5CDelta%20V%5E%7B%5Cnu%7D%20%3D%5Coint%5Cdelta%20V%5E%7B%5Cnu%7D%20%3D%5Coint%5CGamma%5E%7B%5Cnu%7D_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D%20V%5Eidx%5E%7B%5Cmu%7D$ 。明顯，可以使用斯托克斯公式把回路積分換為面積分，再進(jìn)行求導(dǎo)。

因?yàn)槟壳斑€沒(méi)有用外微分式嚴(yán)格證明過(guò)流形上的積分，因此我們跳過(guò)斯托克斯公式，采用一種更加特殊的方式來(lái)求解這個(gè)回路積分。

（以下文章中會(huì)將向量實(shí)體和分量混記，全部表示分量）

如圖所示為一個(gè)平行四邊形回路微元，回路方向?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=A%5Crightarrow%20B%5Crightarrow%20C%5Crightarrow%20D%20%5Crightarrow%20A%27%3DA" alt="A%5Crightarrow%20B%5Crightarrow%20C%5Crightarrow%20D%20%5Crightarrow%20A'%3DA">。

長(zhǎng)度為 $AB%3Ddx%5E%7B%5Cmu%7D$ ， $CD%3Ddx%5E%7B%5Cnu%7D$ 。正方向?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cvec%7BAB%7D" alt="%5Cvec%7BAB%7D">與 $%5Cvec%7BCD%7D$ ，回路中。

設(shè)向量 $%20%5Cvec%7BV%7D%20$ 沿回路走過(guò)一圈，在各點(diǎn)處以下角標(biāo)標(biāo)記，為 $%5Cvec%7BV%7D_A%5Crightarrow%20%5Cvec%7BV%7D_B%20%5Crightarrow%20%5Cvec%7BV%7D_C%5Crightarrow%20%5Cvec%7BV%7D_D%5Crightarrow%20%5Cvec%7BV%7D_%7BA'%7D$ 。由前文可知，向量 $%20%5Cvec%7BV%7D%20_A$ 與向量 $%20%5Cvec%7BV%7D%20_%7BA%E2%80%99%7D$ 必有誤差，記作 $%5CDelta%20%5Cvec%7BV%7D%20%3D%20%5Cvec%7BV%7D%20_%7BA%E2%80%99%7D-%20%5Cvec%7BV%7D%20_A$ ，分量式 $%5CDelta%7BV%7D%5El%20%3D%20%7BV%7D%20_%7BA%E2%80%99%7D%5El-%20%7BV%7D%20_A%5El$ 。

對(duì)于相鄰兩點(diǎn)之間的平移，向量的差可以用平移差表示，這里按回路方向取值，距離用后加括號(hào)表示: $%5Cvec%7BV%7D%20_%7BB%7D-%20%5Cvec%7BV%7D%20_A%3D%5Cdelta%20V%5El(x%5E%7B%5Cmu%7D)%3D%5CGamma%5El_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D%20V%5Eidx%5E%7B%5Cmu%7D%EF%BC%9B$ $%5Cvec%7BV%7D%20_%7BC%7D-%20%5Cvec%7BV%7D%20_B%3D%5Cdelta%20V%5El(x%5E%7B%5Cnu%7D)%3D%5CGamma%5El_%7Bi%7B%5Cnu%7D%7D%20V%5Eidx%5E%7B%5Cnu%7D%EF%BC%9B$ $%5Cvec%7BV%7D%20_%7BD%7D-%20%5Cvec%7BV%7D%20_C%3D%5Cdelta'%20V%5El(x%5E%7B%5Cmu%7D)%3D%5CGamma'%5El_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D%20V%5Eidx%5E%7B%5Cmu%7D%EF%BC%9B$ $%5Cvec%7BV%7D%20_A'-%20%5Cvec%7BV%7D%20_D%3D%5Cdelta'%20V%5El(x%5E%7B%5Cnu%7D)%3D%5CGamma'%5El_%7Bi%7B%5Cnu%7D%7D%20V%5Eidx%5E%7B%5Cnu%7D%E3%80%82$ 其中 $CD$ 與 $A'D$ 的方向與正向相反。

可見(jiàn)，相對(duì)的兩邊： $AB%20%2F%2FCD%2CA'D%2F%2FCB$ 上的平移差是有不同的，而這種不同可以看作是在相鄰方向上兩點(diǎn)之間的全差，用協(xié)變微分表示，距離同樣后加括號(hào)表示。這里應(yīng)注意到上文中提到的回路方向所涉及到的符號(hào)問(wèn)題，以及重復(fù)項(xiàng)：

$(%5Cvec%7BV%7D%20_C-%20%5Cvec%7BV%7D%20_D)-(%5Cvec%7BV%7D%20_%7BB%7D-%20%5Cvec%7BV%7D%20_A)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20D(x%5E%7B%5Cnu%7D)%5Cdelta%20V%5El(x%5E%7B%5Cmu%7D)%EF%BC%9B$ $(%5Cvec%7BV%7D%20_C-%20%5Cvec%7BV%7D%20_B)-(%5Cvec%7BV%7D%20_%7BD%7D-%20%5Cvec%7BV%7D%20_A')%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DD(x%5E%7B%5Cmu%7D)%5Cdelta%20V%5El(x%5E%7B%5Cnu%7D)%E3%80%82$

由此，我們便可以計(jì)算回路誤差了： $%5CDelta%20%5Cvec%7BV%7D%20%3D%20%5Cvec%7BV%7D%20_%7BA%E2%80%99%7D-%20%5Cvec%7BV%7D%20_A%3D%5B(%5Cvec%7BV%7D%20_C-%20%5Cvec%7BV%7D%20_B)-(%5Cvec%7BV%7D%20_%7BD%7D-%20%5Cvec%7BV%7D%20_A')%5D-%5B(%5Cvec%7BV%7D%20_C-%20%5Cvec%7BV%7D%20_D)-(%5Cvec%7BV%7D%20_%7BB%7D-%20%5Cvec%7BV%7D%20_A)%5D%E3%80%82$ 我們將分量式，以及所有的差值全部代入，簡(jiǎn)單計(jì)算可以得到：

$%5CDelta%20V%5El%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5BD(x%5E%7B%5Cmu%7D)%5Cdelta%20V%5El(x%5E%7B%5Cnu%7D)-D(x%5E%7B%5Cnu%7D)%5Cdelta%20V%5El(x%5E%7B%5Cmu%7D)%5D$ $%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B(%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D%5Cdelta%20V%5El(x%5E%7B%5Cnu%7D)%2B%5CGamma%5El_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D%20%5Cdelta%20V%5Ei(x%5E%7B%5Cnu%7D))dx%5E%7B%5Cmu%7D-$ $(%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D%5Cdelta%20V%5El(x%5E%7B%5Cmu%7D)%2B%5CGamma%5El_%7Bj%7B%5Cnu%7D%7D%20%5Cdelta%20V%5Ej(x%5E%7B%5Cmu%7D))dx%5E%7B%5Cnu%7D%5D$ $%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B(%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D(%5CGamma%5El_%7Bp%7B%5Cnu%7D%7D%20V%5Epdx%5E%7B%5Cnu%7D)%2B%5CGamma%5El_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D%20(%5CGamma%5Ei_%7Bk%7B%5Cnu%7D%7D%20V%5Ekdx%5E%7B%5Cnu%7D))dx%5E%7B%5Cmu%7D-$ $(%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D(%5CGamma%5El_%7Bq%7B%5Cmu%7D%7D%20V%5Eqdx%5E%7B%5Cmu%7D)%2B%5CGamma%5El_%7Bj%7B%5Cnu%7D%7D%20(%5CGamma%5Ej_%7Bk%7B%5Cmu%7D%7D%20V%5Ekdx%5E%7B%5Cnu%7D))dx%5E%7B%5Cnu%7D%5D%E3%80%82$ 【一定要自己檢查指標(biāo)是否守恒！】

式中， $dx%5E%7B%5Cmu%7D$ 與 $dx%5E%7B%5Cnu%7D$ 是微元，不受偏微分影響；同時(shí)由于是微小回路， $V%5El$ 可以看作常數(shù)，從微分中提出。最后，將啞標(biāo) $p$ 和 $q$ 改寫(xiě)為 $k$ ，從而能把 $V%5Ek$ 全部提出。

經(jīng)過(guò)整理，可以得到結(jié)果：

$%5CDelta%20V%5El$ $%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D%5CGamma%5El_%7Bk%7B%5Cnu%7D%7D-%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D%5CGamma%5El_%7Bk%7B%5Cmu%7D%7D%2B%5CGamma%5El_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D%20%5CGamma%5Ei_%7Bk%7B%5Cnu%7D%7D%20-%20%5CGamma%5El_%7Bj%7B%5Cnu%7D%7D%20%5CGamma%5Ej_%7Bk%7B%5Cmu%7D%7D%20)V%5Ekdx%5E%7B%5Cnu%7Ddx%5E%7B%5Cmu%7D%E3%80%82$

引入黎曼曲率張量?Riemann Curvature?Tensor ：

$R%5El_%7B%7B%5Cspace%7Dk%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%20%3D%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D%5CGamma%5El_%7Bk%7B%5Cnu%7D%7D-%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D%5CGamma%5El_%7Bk%7B%5Cmu%7D%7D%2B%5CGamma%5El_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D%20%5CGamma%5Ei_%7Bk%7B%5Cnu%7D%7D%20-%20%5CGamma%5El_%7Bj%7B%5Cnu%7D%7D%20%5CGamma%5Ej_%7Bk%7B%5Cmu%7D%7D%20%EF%BC%8C$

同時(shí)令 $dx%5E%7B%5Cnu%7Ddx%5E%7B%5Cmu%7D%3Ddf%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D$ 為回路面積微元，則回路差公式可以寫(xiě)作：

$%5CDelta%20V%5El$ $%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20R%5El_%7B%7B%5Cspace%7Dk%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%20V%5Ekdf%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%E3%80%82$ 式中 $k%2C%5Cmu%2C%5Cnu$ 均為啞標(biāo)，指標(biāo) $l$ 守恒。

這里是將面積微元看作小面積提出，若放進(jìn)積分中，則回路積分可寫(xiě)作：

$%5CDelta%20V%5El%20%3D%5Coint%5Cdelta%20V%5El%3D%5Coint%5CGamma%5El_%7Bi%7B%5Cmu%7D%7D%20V%5Eidx%5E%7B%5Cmu%7D%20%3D%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20R%5El_%7B%7B%5Cspace%7Dk%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%20V%5Ekdf%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%E3%80%82$

這里可以明顯看到我們成功的將閉曲線積分轉(zhuǎn)為了面積分，也就是斯托克斯公式。在證明之后可以驗(yàn)證，上式的結(jié)論是正確的。

從推導(dǎo)中可以看出，黎曼曲率張量是一個(gè)(1,3)型的4階張量，滿足張量變化法則，其中后兩個(gè)協(xié)變指標(biāo)是微分指標(biāo)，與面元有關(guān)；第一個(gè)協(xié)變指標(biāo)與向量分量有關(guān)；而唯一的逆變指標(biāo)則是代表了回路差。對(duì)于指標(biāo)的升降問(wèn)題，利用度規(guī)張量 $g_%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D$ 與其對(duì)偶張量即可。黎曼曲率張量是為了紀(jì)念偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家與現(xiàn)代微分幾何之父格奧爾格·弗雷德里?！げ鞴隆だ杪约八_(kāi)創(chuàng)的黎曼幾何。

為了紀(jì)念意大利數(shù)學(xué)家、理論物理學(xué)家格雷戈里奧·里奇-庫(kù)爾巴斯托羅在張量分析上的貢獻(xiàn)，將黎曼曲率張量的二階縮并稱(chēng)為 里奇張量?Ricci Tensor :

$R_%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%3D%20R_%7Bm%7B%5Cmu%7Dn%7B%5Cnu%7D%7D%20g%5E%7Bmn%7D%3D%5Cpartial_l%5CGamma%5El_%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D-%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D%5CGamma%5El_%7Bl%7B%5Cmu%7D%7D%2B%5CGamma%5El_%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%20%5CGamma%5Ei_%7Bli%7D%20-%20%5CGamma%5El_%7Bk%7B%5Cnu%7D%7D%20%5CGamma%5Ek_%7Bl%7B%5Cmu%7D%7D%20%EF%BC%9B$

再次縮并二階成為一個(gè)標(biāo)量，稱(chēng)為?標(biāo)量曲率 Scalar curvature ：

$R%3DR_%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7Dg%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%3D%20R_%7Bm%7B%5Cmu%7Dn%7B%5Cnu%7D%7D%20g%5E%7Bmn%7Dg%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%E3%80%82$

這樣，關(guān)于古典微分幾何中的向量平移的內(nèi)容就結(jié)束了。曲率張量的特性，以及彼得羅夫分類(lèi)就放在之后細(xì)講了，盡情期待。

感謝觀看！

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