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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于蒙特卡羅的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

金融資產(chǎn)/證券已使用多種技術(shù)進(jìn)行建模。該項(xiàng)目的主要目標(biāo)是使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型和蒙特卡羅模擬來模擬股票價(jià)格。該模型基于受乘性噪聲影響的隨機(jī)（與確定性相反）變量

該項(xiàng)目分兩部分完成：

1. 第一部分涉及為幾何布朗運(yùn)動(dòng)編寫代碼，并檢查和驗(yàn)證它是否工作。這是使用 Python 中的幾個(gè)函數(shù)完成的，并使用迭代設(shè)置將后續(xù)股票價(jià)格建模為馬爾可夫鏈，給定初始起始價(jià)格 S0。驗(yàn)證過程包括運(yùn)行多個(gè)模擬或隨機(jī)游走樣本，然后檢查結(jié)果分布，以查看股票價(jià)格、收益和波動(dòng)性是否滿足某些屬性和假設(shè)。

2. 第二階段涉及探索，將模型實(shí)際應(yīng)用于實(shí)際股票價(jià)格，并使用耐克股票的真實(shí)股票數(shù)據(jù)進(jìn)行回測(cè)。模擬是通過獲取收益率 μ 和波動(dòng)率 σ 的樣本值并觀察股票價(jià)格演變的模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度來完成的。

模擬需要大約 10-15 分鐘才能完全運(yùn)行。請(qǐng)注意，對(duì)模擬結(jié)果的所有解釋都是通過解釋價(jià)格水平和收益率的結(jié)果分布的均值和方差等參數(shù)來完成的。

假設(shè)

此項(xiàng)目中使用了以下變量和符號(hào)列表：

1. S0 - 初始股票價(jià)格

2. St - 時(shí)間的股票價(jià)格，t

3. μ - 在特定時(shí)間段內(nèi)平均的股票收益（漂移）率

4. σ - 在特定時(shí)間段內(nèi)平均的股票波動(dòng)率（標(biāo)準(zhǔn)差）

5. dt - 模擬的時(shí)間步長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)于一天內(nèi)股票價(jià)格采樣的頻率

6. N - 模擬的總天數(shù)。

7. r - 無風(fēng)險(xiǎn)利率，任何人都可以借/貸

還對(duì)股票市場(chǎng)/價(jià)格做出了以下假設(shè)。雖然這些假設(shè)確實(shí)有助于大大簡(jiǎn)化模型，但它們非?，F(xiàn)實(shí)，有助于在理想情況下制定模型。

1. 股票價(jià)格遵循馬爾科夫過程，即是無記憶的，隨后的股票價(jià)格僅取決于當(dāng)前價(jià)值，而不取決于任何先前的價(jià)值。

2. 與 N 相比，考慮的時(shí)間步長(zhǎng) dt 較短，即 Ndt>>1

3. 市場(chǎng)完整高效，不存在套利機(jī)會(huì)。

4. 沒有股息、交易成本或稅收考慮。

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拓端

，贊9

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拓端

，贊16

維納過程和幾何布朗運(yùn)動(dòng)

維納過程（也稱為布朗運(yùn)動(dòng)）是一個(gè)具有連續(xù)變量和連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫過程。對(duì)于隨機(jī)變量 z，它有兩個(gè)重要的性質(zhì)：

1. 所有的 Δz 都是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

2. dz = εdt

其中 ? 來自正態(tài)分布

通過將漂移項(xiàng) a(x,t)dt 添加到隨機(jī)過程 dz 上，可以將維納過程進(jìn)一步推廣到 Ito 過程。?

對(duì)于股票價(jià)格，上述方程是 Ito 過程，也稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，描述了隨時(shí)間的隨機(jī)變化。請(qǐng)注意，μ 和 σ 分別是瞬時(shí)漂移和標(biāo)準(zhǔn)偏差率。S 遵循一個(gè)受乘性噪聲影響的隨機(jī)過程。這里還需要注意的是，幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型避免了負(fù)股票價(jià)格的問題。

為股票價(jià)格的解決方案建模

上述隨機(jī)微分方程 (SDE) 具有以下形式的解析解：

請(qǐng)注意，在上述等式中，常數(shù) μ 和 σ 分別對(duì)應(yīng)于股票價(jià)格的百分比漂移（收益）和百分比波動(dòng)（標(biāo)準(zhǔn)差）率。Wt 指的是由 dz=?dt 給出的維納過程，如上所述。該解方程用于以下列方式迭代計(jì)算每個(gè)時(shí)間步的 St：

這里，t 是計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)，每個(gè) St 僅取決于之前的起始價(jià)格 St?1，這是布朗運(yùn)動(dòng)模型所要求的，因?yàn)樗且粋€(gè)馬爾可夫過程。請(qǐng)注意，通過選擇一個(gè)小的時(shí)間步長(zhǎng)，我們可以接近連續(xù)時(shí)間的極限。

因此，給定某個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，隨后的每個(gè)股票價(jià)格 St 完全由三個(gè)參數(shù)描述：

1. 初始“開始”價(jià)格，St?1

2. 百分比收益（漂移）率，μ

3. 波動(dòng)率或標(biāo)準(zhǔn)偏差率，σ

下面的代碼實(shí)現(xiàn)了上面描述的迭代過程。時(shí)間步長(zhǎng)由 dt 給出，對(duì)應(yīng)于對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行采樣的頻率，N 是模擬運(yùn)行的總天數(shù)。

#幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型#使用mu=收益率#sigma=波動(dòng)率#dt=時(shí)間步長(zhǎng)#Si=每個(gè)時(shí)間段的初始（開始）價(jià)格值#價(jià)格和收益的時(shí)間演變#使用布朗運(yùn)動(dòng)模型來生成N天（時(shí)間段）的價(jià)格列表def?gices(mu,?sigma,?dt,?Si,?N):????pirr?=?np.zeros(N)?#初始化一個(gè)長(zhǎng)度為N的向量來存儲(chǔ)價(jià)格值????pr_r[0]?=?Si?#存儲(chǔ)第一個(gè)價(jià)格值??????retrr?=?np.zeros(N)?#初始化向量來存儲(chǔ)返回值????????#還可以計(jì)算連續(xù)N之間的價(jià)格回報(bào)率????for?i?in?range?(1,N):????????#注意price[i-1]是每次迭代的Si????????pr_arr[i]?=?geoeti_bown(mu,?sigma,?dt,?price_arr[i-1])

運(yùn)行單個(gè)模擬/步行

這部分代碼只是調(diào)用上面編寫的函數(shù)并繪制結(jié)果。給出了收益率和波動(dòng)率、起始價(jià)格和時(shí)間步長(zhǎng)的樣本值。以下數(shù)字按出現(xiàn)順序顯示：

1. 股票價(jià)格的演變，St 作為 N 的函數(shù)

2. 股票價(jià)格水平的分布，繪制為直方圖。

3. 收益和對(duì)數(shù)收益的分布，也繪制為直方圖。

在隨后的部分中進(jìn)行了多次模擬，以實(shí)際驗(yàn)證模型的正確性。

#運(yùn)行單個(gè)模擬以檢查功能#使用?mu、sigma?和?Si?的樣本值進(jìn)行測(cè)試#調(diào)用函數(shù)Slst,?RitRlolist?=?gpes(mu,?sigma,?dt,?Si,?N)#繪制結(jié)果plt.figure(figsize=(15,5))

#用于獲取mu_multiple和sigma_multiple#將價(jià)格數(shù)組作為輸入并返回?mu?和?sigmadef?v_tun(price_array):????mu_single?=?0????sgm_sigle?=?0???? ????#計(jì)算模擬的平均收益率，mu和平均波動(dòng)率，sigma????musigle?=?np.mean(mu_temp)????sigmsile?=?np.std(mu_temp) ????#Monte?Carlo?模擬幾何布朗運(yùn)動(dòng)演化#運(yùn)行幾個(gè)模擬來生成幾個(gè)可能的價(jià)格演變數(shù)組#用它來計(jì)算平均波動(dòng)率和回報(bào)率def?gmlie(mu,?sigma,?dt,?Si,?N,?sim_count):????cacies?=?np.zeros(shape=(N,sim_count))?#創(chuàng)建一個(gè)數(shù)組來存儲(chǔ)模擬值????#對(duì)于?alc_res?數(shù)組，我們只關(guān)心值????#創(chuàng)建數(shù)組來存儲(chǔ)每個(gè)的mu和sigma的值????m_mutple?=?np.zeros(sim_count)????sigmmiple?=?np.zeros(sim_count) ???? ????vl?=?np.linspace(0,N-1,N) ????#運(yùn)行模擬并繪制每個(gè)價(jià)格演變的結(jié)果????plt.figure(figsize=(20,20))

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R語言幾何布朗運(yùn)動(dòng)GBM模擬股票價(jià)格優(yōu)化建立期權(quán)定價(jià)用概率加權(quán)收益曲線可視化

左右滑動(dòng)查看更多

01

02

03

04

檢查和測(cè)試多個(gè)模擬的代碼

上面的代碼包含一個(gè)函數(shù)，可以為幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述的隨機(jī)游走運(yùn)行多個(gè)模擬。還編寫了另一個(gè)計(jì)算給定輸入數(shù)組的平均收益和波動(dòng)率水平的函數(shù)。這兩個(gè)函數(shù)都用于生成幾個(gè)模擬/隨機(jī)游走，如上圖所示。

上圖顯示了在相同起始價(jià)格、S0=100 和收益率和波動(dòng)率、μ=0.2 和 σ=0.07 下運(yùn)行的 500 次模擬圖。使用的時(shí)間步長(zhǎng)為 dt=0.01，表示每天對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行頻繁抽樣。每條線代表使用前面描述的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型建模的樣本隨機(jī)游走。然后通過繪制股票價(jià)格、收益和標(biāo)準(zhǔn)差的分布來分析使用這些模擬生成的數(shù)據(jù)。然后分析這些價(jià)格水平、收益和波動(dòng)率的分布，以檢查其正確性和一致性。

從下面的第一張圖中可以看出，價(jià)格水平遵循近似對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這實(shí)際上是一個(gè)預(yù)期的結(jié)果。解，St 是一個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其期望值和方差由下式給出：

從下面的第一幅圖中可以看出，對(duì)于 sim_count = 500 次模擬，價(jià)格水平確實(shí)近似于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，平均值約為 200。使用 tats.lmfit 函數(shù)測(cè)量的均值和方差也與以上定義的值在合理的誤差范圍內(nèi)。對(duì)于使用上面給出的參數(shù)的模擬運(yùn)行，它們被計(jì)算為：

下面的第二張圖顯示了上面運(yùn)行的模擬的收益率分布?？梢院苋菀椎赜^察到，收益呈正態(tài)分布，平均值約為 0.15，這是模擬中 μ 的輸入值。這種收益率的正態(tài)分布也是布朗運(yùn)動(dòng)模型的預(yù)期結(jié)果。下面的第三張圖顯示了標(biāo)準(zhǔn)偏差率的分布，也可以觀察到其呈正態(tài)分布，平均值約為 0.07，這是模擬的 σ 輸入值。

因此，上述討論驗(yàn)證了幾何布朗運(yùn)動(dòng)編碼模型確實(shí)按預(yù)期工作，并生成與模型的屬性和假設(shè)相對(duì)應(yīng)的結(jié)果。自相似性也被證明適用于模型，其中不同的時(shí)間步長(zhǎng) dt 與調(diào)整后的 μ 和 σ 一起使用，以產(chǎn)生相似的價(jià)格水平和收益分布。這是模型的另一個(gè)預(yù)期結(jié)果，因?yàn)椴祭蔬\(yùn)動(dòng)在不同尺度上表現(xiàn)出分形行為。

#繪制價(jià)格水平和收益的分布以檢查代碼的有效性#價(jià)格水平應(yīng)根據(jù)幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布#Retu?ate?和?Vlatiiy?應(yīng)該是正態(tài)分布的#Plot?價(jià)格水平plt.figure(figsize=(15,5))#與下面給出的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行比較logorman?=?Si*np.exp(mu*N*dt)logmvar?=?(Si**2)*np.exp(2*mu*N*dt)*(np.exp((sigma**2)*N*dt)-1)plt.plot(bns,lonm_dst,"g",lw=5)?#繪制預(yù)期的對(duì)數(shù)正態(tài)密度分布#繪制收益和波動(dòng)率分布plt.figure(figsize=(15,5))

print(lono_ean)print(np.sqrt(loomvr))

探索：使用真實(shí)股票數(shù)據(jù)測(cè)試模型

一旦模型被檢查為正常工作，它就會(huì)用真實(shí)的庫(kù)存數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試。耐克 (NKE) 2013-2015 年的股價(jià)被用來回測(cè)該模型。并且使用上述幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型運(yùn)行 Monte Carlo 模擬。

以下值用于在兩年期間使用 NKE 的真實(shí)數(shù)據(jù)測(cè)試代碼。假設(shè)一年大約有 250 個(gè)工作日，N = 500 表示大約兩年的時(shí)間框架。通過將數(shù)據(jù)導(dǎo)入單獨(dú)的 .csv 文件并對(duì)股票價(jià)格的收益率和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行所需的計(jì)算來計(jì)算收益率和波動(dòng)率。

1. 截至 2013 年 1 月 2 日，起始價(jià)格 S0 為 52.4。兩年期末的預(yù)期價(jià)格 St 預(yù)計(jì)在 98.6 左右。

2. 兩年年化收益率為 μ=0.13，這是使用雅虎財(cái)經(jīng)歷史記錄生成的價(jià)格列表計(jì)算得出的。

3. 兩年年化波動(dòng)率也從價(jià)格中獲得，σ=0.05。

以下代碼調(diào)用函數(shù)以通過幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型生成隨機(jī)游走。

#使用這些價(jià)格計(jì)算回報(bào)率和波動(dòng)率。pprint(k.geical('2013-01-01',?'2015-01-01'))

#使用輸入?yún)?shù)的樣本值運(yùn)行多個(gè)模擬dt?=?0.01sim_count?=?500#調(diào)用函數(shù)并運(yùn)行模擬prie,?mu_arr,?sigrr?=?geiple(mu,?sgma,?dt,?Si,?N,?icont) 在?[29]?中：lorm_ean?=?Si*np.exp(mu*N*dt)

解釋模擬結(jié)果

從上圖中生成的隨機(jī)游走可以看出，我們?cè)谶@里使用的模型乍一看似乎產(chǎn)生了正確方向和近似幅度的價(jià)格演變。由于它是一個(gè)隨機(jī)游走模型，重要的是要注意，結(jié)果只能解釋為價(jià)格水平或整體收益分布，而不是單個(gè)模擬。下面的代碼和數(shù)字為價(jià)格水平和收益率和波動(dòng)率生成所需的分布圖。

首先需要注意的是，使用等式 E[St]=S0e(μN(yùn)t) 的對(duì)數(shù)正態(tài)分布價(jià)格水平的計(jì)算平均值為 100.374。這位于真實(shí)值 98.6 的 5% 誤差范圍內(nèi)，是使用 500 次模擬生成的。

其次，可以看出幾何布朗運(yùn)動(dòng)的所有性質(zhì)都得到滿足——價(jià)格水平服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，收益率和波動(dòng)率正態(tài)分布，均值對(duì)應(yīng)于輸入?yún)?shù)值。

請(qǐng)注意，模擬還針對(duì)其他時(shí)間范圍和不同的股票價(jià)格運(yùn)行，平均而言，該模型顯示的值在圣路易斯真實(shí)價(jià)值的 10% 以內(nèi)。

#繪制價(jià)格水平的分布并返回以檢查真實(shí)數(shù)據(jù)的代碼#價(jià)格水平應(yīng)根據(jù)幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布#Return?Rate?和?Volatility?應(yīng)該是正態(tài)分布的#Plot?價(jià)格水平plt.hist(prestiple,bins=100,normed=1,label="R")#與下面給出的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行比較lognorm_mean?=?Si*np.exp(mu*N*dt)lognorm_var?=?(Si**2)*np.exp(2*mu*N*dt)*(np.exp((sigma**2)*N*dt)-1)#繪制預(yù)期的對(duì)數(shù)正態(tài)密度分布#繪制收益和波動(dòng)率分布plt.hist(mu_arr,bins=100,normed=1,label="R")

評(píng)論和結(jié)論

從生成的模擬結(jié)果可以看出，幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型可以很好地使用上面討論的隨機(jī)過程來模擬股票價(jià)格。該模型首先被檢查以滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)的特性，然后用真實(shí)的股票價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行回測(cè)。NKE 2013-2015 年的股票價(jià)格用于計(jì)算 μ 和 σ 的值，然后用于運(yùn)行該期間的模擬。股票價(jià)格的模擬結(jié)果和真實(shí)價(jià)值在 5% 的誤差范圍內(nèi)相似。

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本文選自《PYTHON 用幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型和蒙特卡羅MONTE CARLO隨機(jī)過程模擬股票價(jià)格可視化分析耐克NKE股價(jià)時(shí)間序列數(shù)據(jù)》。

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