量子世紀(jì)的創(chuàng)世余暉——讀馮·諾依曼《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》｜展卷

Durch den ganzen logischen Apparat hindurch sprechen die physikalischen Gesetze doch von den Gegenst?nden der Welt. 物理規(guī)律借助其全部的邏輯機制間接地言說世界中的對象。

——維特根斯坦，《邏輯哲學(xué)論》（Logisch-Philosophische Abhandlung）

撰文 | 李輕舟

重視并探討物理學(xué)在表述中呈現(xiàn)出的形式結(jié)構(gòu)及其意義是牛頓創(chuàng)立經(jīng)典力學(xué)體系以來的傳統(tǒng)。一般地，表述物理學(xué)所依賴的載體主要分為兩種：第一種是自然詞匯組成的陳述性語句；第二種是數(shù)學(xué)符號組成的形式表達式。以前者為主要表述方式的物理學(xué)文獻集中出現(xiàn)在亞里士多德到牛頓時代。大約從拉格朗日、拉普拉斯開始，符號表達式逐漸取代了自然語句成為了物理學(xué)的主要表述方式。

無論是自然詞匯的陳述語句，還是數(shù)學(xué)符號表達式，本質(zhì)上都可歸類于形式邏輯的命題。這些命題依靠相互之間的邏輯關(guān)系組成系統(tǒng)，即物理學(xué)在表述中呈現(xiàn)出的形式結(jié)構(gòu)。我們通過這套形式結(jié)構(gòu)邏輯地或數(shù)學(xué)地刻畫物理學(xué)的概念，而概念指向了物理世界中的客觀實在，從而“間接地言說”物理世界，如同愛因斯坦、波多爾斯基、羅森在“EPR”[1]中指出的那樣：“這些概念對應(yīng)于客觀實在，而我們通過它們向自己描繪了實在?！?/p>

歷史上，物理學(xué)家對形式及其意義的興趣可以從麥克斯韋的一段經(jīng)典論述中得到驗證。在著名的電磁理論文獻《論法拉第的力線》[2]中，麥克斯韋明確指出了形式（數(shù)學(xué)表達式）的重要性，他說：“為了獲得不依賴固有理論的物理學(xué)新概念，我們必須善用物理類比。所謂物理類比，是指利用科學(xué)規(guī)律之間的局部相似性，用它們中的一個去說明另一個。因此，所有的數(shù)理科學(xué)要建立在物理學(xué)規(guī)律與數(shù)學(xué)規(guī)律之間關(guān)系的基礎(chǔ)之上，所以精密科學(xué)的目的在于將自然界的難題以數(shù)的手段還原為量的判斷。通過最普遍的類比到極小的局部，我們發(fā)現(xiàn)正是兩種不同現(xiàn)象相同的數(shù)學(xué)表達形式催生了光的物理學(xué)理論?！?/p>

圖1 邏輯原子論的代表人物：羅素（B. Russell）與維特根斯坦（L. Wittgenstein）

隨著分析哲學(xué)中“邏輯原子論”（logical atomism）的一度興盛以及數(shù)學(xué)或物理學(xué)中“物理學(xué)公理化”（mathematical treatment of the axioms of physics）運動的推進，對物理學(xué)形式結(jié)構(gòu)的探討已經(jīng)取得了長足的進展。20世紀(jì)初才正式進入人們視野的物理學(xué)公理化，其實一直是經(jīng)典物理學(xué)的一個潛在的歷史傳統(tǒng)，它可以追溯到牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》（Philosophi? Naturalis Principia Mathematica, 1687）中對歐氏幾何學(xué)的“模仿”，哥德爾曾經(jīng)評論道[3]：“物理學(xué)家對公理化方法缺乏興趣，就像一層偽裝：這個方法不是別的，就是清晰的思維。牛頓把物理學(xué)公理化，因而把它變成了一門科學(xué)?！?/p>

圖2 在普林斯頓漫步的愛因斯坦與哥德爾（K. G?del）。哥德爾與著名的“維也納學(xué)派”（Wiener Kreis）過從甚密，該學(xué)派深受馬赫、羅素和維特根斯坦思想的影響。

然而，物理學(xué)公理化在世紀(jì)之交被正式提出來并受到一定程度的重視，完全得益于一場由數(shù)學(xué)家或者說數(shù)學(xué)物理學(xué)家發(fā)起的物理學(xué)公理化運動。1900年，希爾伯特在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上宣讀了題為《數(shù)學(xué)問題》（Mathematical Problems）[4]的著名演講。在這篇演講中，希爾伯特向當(dāng)時的數(shù)學(xué)界提出了23個有待深入研究的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向或難題，合稱“希爾伯特問題”。其中第6個問題，即“物理學(xué)的公理化”，希爾伯特對此的闡述是：“對幾何學(xué)基礎(chǔ)的探討暗示了這樣一個問題：可以借助公理且運用相同的方法處理數(shù)學(xué)在其中扮演著重要角色的物理科學(xué)；首要解決的便是概率論和力學(xué)?！痹诮o出一些路線上的提示后（比如馬赫、赫茲、玻爾茲曼等人的方法），希爾伯特進一步強調(diào)：“此外，數(shù)學(xué)家的責(zé)任是在每個實例中嚴(yán)格檢驗這些新公理是否與舊的相容。物理學(xué)家，當(dāng)理論取得進展時，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)自己為實驗結(jié)果所迫而去構(gòu)造新的假設(shè)，為了使這些新假設(shè)與舊的公理相容，他不得不依賴這些實驗或某些物理直覺，而這種經(jīng)驗在理論的嚴(yán)格邏輯構(gòu)建中是不被允許的。對我來說，令人滿意地證明所有假設(shè)的相容性同樣很重要，因為獲得每一個證明的努力總會最有效地迫使我們達到一個嚴(yán)格的公理表述。”雖然，希爾伯特對形式系統(tǒng)公理相容性證明（在所謂“超限公理”的約束下）的預(yù)期最終被哥德爾證明為不可能（涉及希爾伯特第2問題“算術(shù)公理系統(tǒng)的相容性”、“希爾伯特形式主義綱領(lǐng)”和“哥德爾不完備性定理”），但物理學(xué)公理化的號召還是得到了相當(dāng)可觀的積極響應(yīng)。在隨后30多年時間里，這場運動取得了四項進展：1909年，哈梅爾（G. Hamel）在分析力學(xué)的基礎(chǔ)上實現(xiàn)了力學(xué)的公理化[5]。同年，卡拉西奧多里確立了公理化熱力學(xué)的基礎(chǔ)[6]。1932年，馮·諾依曼出版了《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik），該文獻被視為遵循希爾伯特路線的一個量子力學(xué)公理化范本。1933年，柯爾莫哥洛夫出版了《概率運算的基礎(chǔ)》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung），建立了嚴(yán)格的公理化概型，概率論實現(xiàn)了公理化乃至“數(shù)學(xué)化”。

圖3 希爾伯特（D. Hilbert）、卡拉西奧多里（C. Caratheodory）與柯爾莫哥洛夫（А. Н. Колмогоров）

20世紀(jì)20年代以降，量子力學(xué)由初創(chuàng)階段轉(zhuǎn)向縱深發(fā)展，馮·諾依曼的量子力學(xué)公理化為量子力學(xué)的哥本哈根詮釋提供了一個符合希爾伯特期待的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1930年，狄拉克在《量子力學(xué)原理》（The Principles of Quantum Mechanics）中給出了量子力學(xué)（包括發(fā)表于1925年的矩陣力學(xué)和1926年的波動力學(xué)）的統(tǒng)一數(shù)學(xué)表述形式。在《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中，馮·諾依曼首先肯定了狄拉克的嘗試，但同時指出了其在數(shù)學(xué)嚴(yán)密性上的不足（比如δ函數(shù)的引入）?；谕鉅栂蛄靠臻g的公理體系（見《空間、時間、物質(zhì)：廣義相對論講義》，Raum, Zeit, Materie :Vorlesungen über allgemeine Relativit?tstheorie,1918），馮·諾依曼為量子力學(xué)的傳統(tǒng)表述（即哥本哈根詮釋）賦予了一個新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——希爾伯特空間，并在該空間中展開厄密算符理論作為量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

圖4 外爾（H. Weyl）、狄拉克（P. Dirac）與馮·諾依曼（John von Neumann）

在外爾公理系中，可以定義內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)的賦范空間。對一個內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)的賦范空間H，

是一個點列，若滿足如下條件：

則稱{xn} 是 H 中的一個基本列或柯西列。若 H 中每一個柯西列都收斂于 H 中的點，即

則稱 H 具有完備性。這樣一個完備的內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)的賦范空間，即希爾伯特空間。

另一方面，對一個向量空間 L ，若

則稱 B 為 L 的哈梅爾基，記為 L=spanB 。若 L 為賦范空間，可將x及其聚點構(gòu)成一個閉包。若這個閉包等于 L，則稱 B 為 L 的完全基，記為

。特別地，若 B 可列，則

此時 B 為 L 的肖德爾基。在內(nèi)積空間中，可以為 B 中元素加上互為正交歸一的條件。

綜上，馮·諾依曼使用的希爾伯特空間就是一個存在正交歸一化肖德爾基的完備內(nèi)積空間。由于肖德爾基的存在，這個空間是無窮維的，即無窮維希爾伯特空間。

馮·諾依曼把無窮維的希爾伯特空間作為量子力學(xué)的相空間或態(tài)空間。這就引出了馮·諾依曼公理系的第一公理，它可被表述為：

公理I. 量子力學(xué)的態(tài)函數(shù) Ψ 為希爾伯特空間的元素。

這條公理在物理上陳述了薛定諤的波函數(shù)，其所有物理性質(zhì)都可以由希爾伯特空間的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確地刻畫。對所選定的特定表象，Ψ 展開的本征態(tài)函數(shù)即希爾伯特空間中的肖德爾基。

根據(jù)這兩個公理，我們可以很方便地導(dǎo)出定態(tài)薛定諤方程等一系列重要結(jié)論。公理III的數(shù)學(xué)表述形式是在薛定諤工作上展開的，它表征了波函數(shù)連續(xù)的演化過程，但并沒有刻畫波函數(shù)在測量條件下的坍縮機制。對這個機制的表述可以歸納為馮·諾依曼公理系第四公理：

公理IV. 對經(jīng)典力學(xué)量 F 測量，所得平均值

任意一次測量所得值為本征值 λn，概率為|cn|2。

公理IV實際上陳述了波函數(shù)在實驗中的物理意義，涉及玻恩的波函數(shù)統(tǒng)計解釋以及頗具爭議性的測量問題（測量主體與客體交互過程中的波函數(shù)坍縮）。

除了粒子全同性原理和自旋假設(shè)外，馮·諾依曼公理系涵蓋了非相對論性量子力學(xué)的全部基本規(guī)律。從該公理系出發(fā)，馮·諾依曼在更嚴(yán)格的意義上證明了矩陣力學(xué)和波動力學(xué)兩種表述方式的數(shù)學(xué)等價性，并且通過證明現(xiàn)行量子力學(xué)理論體系不存在定域隱變量，在一定程度上支持了玻爾一派期望的量子力學(xué)“完備性”。馮·諾依曼公理系及其定域隱變量不存在的證明影響了后來玻姆、貝爾等人對量子力學(xué)基礎(chǔ)的考察，而他為之建立起來的數(shù)學(xué)體系和方法也促進了現(xiàn)代泛函分析的發(fā)展。

圖5《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》扉頁（1932年德文原版與1955年英譯版）

筆者曾對這種“間接言說”的“語言”本身——物理學(xué)的理論表述形式——抱有濃厚興趣。大約十年前，在撰寫學(xué)士學(xué)位論文期間，藉由梳理物理學(xué)公理化歷史，筆者第一次獲知量子世紀(jì)的“創(chuàng)世余暉”——《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。為了更方便地閱讀，筆者專門托在北大數(shù)學(xué)系就讀的友人去北大圖書館搜尋，幸而找到了1955年的英譯本（Robert T. Beyer譯，普林斯頓大學(xué)出版社出版）。友人將原書復(fù)印裝訂成冊，千里迢迢寄送到我手中，使我有機會直面20世紀(jì)頂級的天才大腦......老實講，那不是什么輕松的閱讀體驗，文章完成，也就相忘于江湖了。所謂“浮云一別后，流水十年間”，未曾想科學(xué)出版社近日推出了這部名著的中譯本（凌復(fù)華譯，李繼彬校），編輯朋友為督促我學(xué)習(xí)，第一時間寄來了新書。舊書重讀如老友重逢，奈何歲月蹉跎，學(xué)問無所長進，率爾操觚，惟愿潛心讀者深入馮·諾依曼的“間接言說”，去真切見識那個“激動人心的年代”（狄拉克語）。

參考文獻

[1] A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen. Can Quantum-Mechanics Description of Physical Reality Be Considered Complete? [J]. Phys. Rev., 1935, 47.

[2] J. Maxwell. On Faraday’s Lines of Force[J]. Transactions of The Cambridge Philosophical Society,1855,10.

[3] ?H. Wang（王浩）. 邏輯之旅：從哥德爾到哲學(xué)[M]. 邢滔滔、郝兆寬、汪蔚，譯.杭州：浙江大學(xué)出版社，2008.

[4] D. Hilbert. Mathematical Problems[J]. BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, 2000, 37(4).

[5] ?G. Hamel.über die Grundlagen der Mechanik[J]. Mathematische Annalen, 1909, 66.

[6] ?C.Caratheodory.Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodznamik[J]. Mathematische Annalen, 1909, 67.