恒磁場(chǎng)的基本結(jié)論

# 產(chǎn)生機(jī)制

• 電場(chǎng)：有電荷之時(shí)則可產(chǎn)生
• 磁場(chǎng)：運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生（電流）

# 研究方法的起點(diǎn)

• 電場(chǎng)有點(diǎn)電荷出發(fā)
• 磁場(chǎng)在閉合電路以電流元出發(fā)

電場(chǎng)與磁場(chǎng)研究起點(diǎn)的區(qū)別：點(diǎn)電荷可以獨(dú)立存在，而電流元?jiǎng)t需在閉合電路中才存在

# 安培定律：由點(diǎn)電荷的庫(kù)倫定律類似，可由電流元之間可得

注意：對(duì)于兩個(gè)電流元之間不滿足牛頓第三定律，原因?yàn)殡娏髟嬖诘那疤?，非整個(gè)系統(tǒng)的作用力。

在整體系統(tǒng)分析時(shí)，牛頓第三定律滿足

## 庫(kù)倫定律與安培定律的常數(shù)比較

## 例題

### 例1：兩直導(dǎo)線問題

兩平行且無限長(zhǎng)的直導(dǎo)線，求右邊導(dǎo)線L受到的磁力

由無窮對(duì)稱性，可任取一個(gè)電流元dI分析

磁力微元dF為

求解結(jié)果為

磁力F的方向分析

# 磁感應(yīng)強(qiáng)度——畢奧-薩伐爾定律（BS定律）

引出的來由：由庫(kù)倫定律的值為廣延量推出強(qiáng)度量的場(chǎng)強(qiáng)，同理安培定律可推出的強(qiáng)度量為磁感應(yīng)強(qiáng)度

## 畢奧-薩伐爾定律（無法由安培定律推導(dǎo)而來）

注意：式子為叉乘

## 磁感應(yīng)強(qiáng)度的性質(zhì)（高斯定理與環(huán)路定理）:有旋無源

此處up主省略了證明過程

注意：電流 $I_{i}$ 的方向?yàn)榕c環(huán)路中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B方向（由右手定則可得）同向?yàn)檎?，反向?yàn)樨?fù)

性質(zhì)總結(jié)：

磁場(chǎng)分布的求解

# 電場(chǎng)與磁場(chǎng)的區(qū)別與聯(lián)系

## 定理的處理方法

注意：不能使用`躍變法`和`勢(shì)能`（雖然由磁矢勢(shì)，但與電勢(shì)完全不同）分析磁場(chǎng)性質(zhì)。

## 定理常用性

磁場(chǎng)的通量積分（高斯定理）與電場(chǎng)的環(huán)路定理結(jié)果為0，不常用；而電場(chǎng)的通量積分（高斯定理）與磁場(chǎng)的環(huán)路定理結(jié)果不為0，因而較為常用

## 對(duì)稱性

電場(chǎng)為反對(duì)稱；磁場(chǎng)對(duì)稱（運(yùn)算為叉乘）

# 例題：使用BS定理

## 例1：無限長(zhǎng)單直導(dǎo)線

已知電流I,求距離導(dǎo)線為d處的磁場(chǎng)分布表達(dá)式

### BS定理

• 定性分析：方向?yàn)槌埫嫱?/li>
• 微元表達(dá)式

• 積分求解（分母處的指數(shù)為3/2）

不建議使用up主轉(zhuǎn)化為分式代數(shù)運(yùn)算

可以使用三角函數(shù)計(jì)算

r = d/sinθ 和 l = -d cotθ

以及

d l = d /sin2θ dθ

進(jìn)而可將積分式可得

B = μI/(4πd)(cosθ? - cosθ?)

## 例2：有限長(zhǎng)直導(dǎo)線

已知長(zhǎng)度為L(zhǎng)、電流為I向上，求在中垂線距離d處的自感應(yīng)強(qiáng)度B

更改例1中的計(jì)算式中的上下限為L(zhǎng)/2，-L/2或者即可，則得

## 例3：非中垂線上的有限長(zhǎng)直導(dǎo)線

如下圖，已知導(dǎo)線為L(zhǎng)，點(diǎn)P距離直導(dǎo)線為d，求點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B

同理更改例1中

的計(jì)算式的上下限即可

可得磁感應(yīng)強(qiáng)度B

#例題：有寬度或曲線導(dǎo)線問題

## 回顧直導(dǎo)線問題：安培環(huán)路定理

則無限長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，可得

注意：在有限長(zhǎng)直導(dǎo)線上不可使用，因其非閉環(huán)，而無限長(zhǎng)直導(dǎo)線可認(rèn)為其在無限遠(yuǎn)處實(shí)現(xiàn)閉環(huán)

## 例1：圓柱導(dǎo)線

已知圓柱半徑為R，電流為I向上，求內(nèi)外磁場(chǎng)強(qiáng)度B

同時(shí)可得導(dǎo)線外的磁感應(yīng)強(qiáng)度B

導(dǎo)線內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

磁場(chǎng)方向?yàn)榄h(huán)路的切線方向（對(duì)稱疊加）

## 例2：環(huán)形電流磁場(chǎng)（對(duì)稱性）

可使用BS定理，則微元為

可得

## 例3：無限長(zhǎng)帶電流的平面

已知電流為I，寬度為a，求離中軸線為z的點(diǎn)P處磁感應(yīng)強(qiáng)度B表達(dá)式

• 對(duì)稱性分析：可知點(diǎn)P磁場(chǎng)關(guān)于中軸線對(duì)稱
• 定性——方向定性：與平面平行且與中軸線垂直

• 微元分析與求解

結(jié)果為

磁感應(yīng)強(qiáng)度B方向（側(cè)視圖）

當(dāng)其為無限大載流平面（即寬度a -> ∞），磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

## 例4：無限長(zhǎng)螺線管

• 定性——磁感應(yīng)強(qiáng)度方向分析

由題可知為無窮對(duì)稱性與安培環(huán)路定律，可得螺線管內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度B平行于螺線管且相等

螺線管外部磁感應(yīng)強(qiáng)度B，由安培環(huán)路定理可知，其為0（附近的微分導(dǎo)線與無窮遠(yuǎn)處導(dǎo)線構(gòu)成閉環(huán)，其中無內(nèi)電流）

對(duì)于截面處的螺線管分析，并由BS定理可得磁感應(yīng)強(qiáng)度B方向朝左

由安培環(huán)路定理，可得（n為匝數(shù) ）

例題補(bǔ)充：中檔題

# 例題

## 例1：圓弧導(dǎo)線

已知半徑R、角度θ，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B

• 取電流元分析
• 定性——磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向(朝紙面向里)

• 微元表達(dá)式與求值

## 例2：同軸電纜

已知內(nèi)部實(shí)心圓柱的半徑為r1，外層圓筒的內(nèi)徑為r2，外徑為r3，求整個(gè)空間磁感應(yīng)強(qiáng)度B的分布

由疊加原理可分別求出

• 實(shí)心圓柱體

• 外圓筒

定性——磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向：由對(duì)稱性可得其為與圓筒的切向方向

由安培環(huán)路定律，得

疊加（注意磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向）

## 例3：繞線的絕緣球體

已知半球上的匝數(shù)n、球半徑R、電流I方向向上，求球心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B

題目圖如下

注意：這個(gè)的導(dǎo)線環(huán)繞為圓弧均勻分布的匝數(shù)

，而不是線的間距均勻的環(huán)繞方式

• 取微導(dǎo)線
• 定性——磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向：由BS定理可知（？）

• 委員分析

可得

求解磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

## 例4：導(dǎo)體球殼問題

電流 I 由A點(diǎn)沿直徑流向B，然后沿著表面經(jīng)線回到A點(diǎn)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的分布

思路：其為各個(gè)小圓微面的疊加組成球面，加上中軸線上的直導(dǎo)線(個(gè)人看法)

• 取電流元
• 定性——B的方向：其為切向方向

反證法：當(dāng)存在法向分量時(shí)（同時(shí)考慮對(duì)稱性），其不滿足磁感應(yīng)通量定理（磁場(chǎng)的高斯定理）

在小圓內(nèi)部，由環(huán)路定理，得

同理小圓外部亦可得

安培力

# 磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度（點(diǎn)乘）與旋度（叉乘）

# 安培力

一導(dǎo)線長(zhǎng)為L(zhǎng)、電流為I，在朝紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B之下

則安培力F為

注意：此時(shí)不需考慮電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)效應(yīng)

# 例題：安培力

## 例1：矩形導(dǎo)線

以下為均勻磁場(chǎng)

易證明安培力相互抵消

## 例1：拓展

此時(shí)合力F為0，但力矩M不為0

引入磁矩后

## 例2：一般封閉曲線型導(dǎo)線

以下為均勻磁場(chǎng)

沿x軸y軸分解可知，亦會(huì)相互抵消

洛倫茲力

# 安培力與洛倫磁力的關(guān)系

二者為同理定律下的不同表現(xiàn)方式，安培力為宏觀的體現(xiàn)，而洛倫磁力為微觀體現(xiàn)

注意：電荷的正負(fù)，其會(huì)影響洛倫磁力的方向判斷

# 例題：洛倫磁力

## 例1：粒子在磁場(chǎng)下做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)

能量性質(zhì)

• 動(dòng)能不變
• 動(dòng)量的值不變，方向改變
• 永不做功

## 例2：管內(nèi)電荷

求管中電荷的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

考慮洛倫磁力：此時(shí)需要考慮到電荷的后續(xù)效應(yīng)（連帶作用），即當(dāng)電荷受到洛倫磁力 f 作用運(yùn)動(dòng)時(shí)，也會(huì)引起洛倫磁力效應(yīng)產(chǎn)生新的洛倫磁力 $f_{⊥}$

此時(shí)洛倫磁力f做正功，而新的洛倫磁力 $f_{⊥}$做負(fù)功

## 例3：電場(chǎng)與磁場(chǎng)

求運(yùn)動(dòng)軌跡

其為圓周運(yùn)動(dòng)與勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成，等效于純滾動(dòng)圓盤的邊緣點(diǎn)的軌跡，將會(huì)是滾輪線

## 例題：洛倫磁力的應(yīng)用

## 例1：霍爾效應(yīng)

求電勢(shì)差V

電勢(shì)差V，可得

## 例2：粒子速度選擇器

由電場(chǎng)力與洛倫磁力平衡可得

## 例3：質(zhì)譜儀

根據(jù)半徑R求出質(zhì)荷比

## 例4：回旋加速器

頻率 f 、最大速度 $v_{m}$ 和最大動(dòng)能 $E_{k}$

加速次數(shù)n

## 例5：磁焦距、磁約束

其運(yùn)動(dòng)軌跡將為螺旋運(yùn)動(dòng)（相當(dāng)于在圓盤上運(yùn)相對(duì)圓心遠(yuǎn)離的運(yùn)動(dòng)）

磁聚焦：粒子經(jīng)過運(yùn)動(dòng)后聚焦于某一點(diǎn)

磁約束：利用磁場(chǎng)約束粒子的運(yùn)動(dòng)范圍