一、整體感覺

1、需要對(duì)方向?qū)?shù)（及梯度）、偏導(dǎo)數(shù)、可微、連續(xù)等定義有清晰的認(rèn)識(shí)

2、對(duì)于day61中求重極限的技巧不能忘，基本每道求原點(diǎn)是否可微的題都會(huì)有所涉及

3、通過對(duì)16.3的課本習(xí)題以及總練習(xí)題的學(xué)習(xí)訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)為什么真題中很多都是考察在原點(diǎn)的情況（如連續(xù)、可微、方向?qū)?shù)），因?yàn)樵c(diǎn)很特殊，其他范圍可以直接利用初等函數(shù)必然連續(xù)。這也是一個(gè)新感悟。

二、需要深刻理解與掌握的點(diǎn)

1、聚點(diǎn)、開集、閉集定義

【聚點(diǎn)】

【開集、閉集】

2、平面點(diǎn)列的收斂性定義+R^2上的完備性定理（4個(gè)）

【平面點(diǎn)列的收斂性定義】

【R^2上的完備性定理：柯西準(zhǔn)則、閉域套定理、聚點(diǎn)定理、有界覆蓋定理】

3、如何定義二元情況下的有界與無界函數(shù)？

4、二元函數(shù)的連續(xù)性概念（連續(xù)，間斷）

5、全增量與偏增量定義

6、定理：復(fù)合函數(shù)連續(xù)性

7、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（3條定理）

8、二元函數(shù)可微性定義及全微分

9、方向?qū)?shù)定義、方向余弦定義（涉及一個(gè)定理及其證明）及其兩道例題

10、上述兩道有關(guān)方向?qū)?shù)定義、方向余弦例題說明，

①? ? ? ? ?在一點(diǎn)可微? ? ??可以推出? ?方向?qū)?shù)存在；

但? ? ? ? ?方向?qū)?shù)存在? ??推不出? ???在一點(diǎn)可微；

②? ? ? ? ?連續(xù)? ? ? ? ? ? ?? ??推不出? ? ??方向?qū)?shù)存在；

?同時(shí)? ? 方向?qū)?shù)存在? ?也推不出? ?連續(xù).

11、梯度定義及其滿足性質(zhì)

【梯度滿足性質(zhì)】

12、梯度及其模的1道習(xí)題

三、具體題目

1（上大）

第一問：原點(diǎn)處的方向?qū)?shù)存在性問題，先設(shè)出單位向量l=(cosθ，sinθ），寫出方向?qū)?shù)的定義，發(fā)現(xiàn)會(huì)出現(xiàn)sin(tanθ）這一項(xiàng)，又因?yàn)棣确秶赱0,2π）,所以分成兩種情況討論θ，一種是θ=π/2,3π/2；另一種是θ≠π/2和3π/2兩種情況。發(fā)現(xiàn)前一種情況方向?qū)?shù)為0，第二種情況方向?qū)?shù)是關(guān)于θ的函數(shù)；這說明函數(shù)在原點(diǎn)處沿任何方向的方向?qū)?shù)都是存在的！

第二問：求偏導(dǎo)數(shù)，直接根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義算就可以了

第三問：利用可微定義，寫出那個(gè)表達(dá)式，計(jì)算一下重極限，利用取不同路徑y(tǒng)=kx(x>0)極限不一樣的那個(gè)方法，算出這個(gè)極限是一個(gè)關(guān)于k的函數(shù)，隨著k的不同，極限不同，這說明重極限不存在，在原點(diǎn)不可微；這里也可以用一下極坐標(biāo)替換x=rcosθ，y=rsinθ來做，一樣是重極限不存在，在原點(diǎn)不可微。

2（安徽大學(xué)）

討論二元函數(shù)在原點(diǎn)處的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性、可微性！

①利用放縮（分母用了一個(gè)均值不等式），發(fā)現(xiàn)隨著（x,y)→（0，0），這個(gè)極限值|y|→0，說明f在原點(diǎn)連續(xù)；

②寫出偏導(dǎo)定義式，發(fā)現(xiàn)均為0，偏導(dǎo)數(shù)存在；

③考慮可微性，寫出那個(gè)表達(dá)式，計(jì)算重極限，看到式子中的分母出現(xiàn)了x^2+y^4，為了讓次數(shù)變?yōu)橐粯樱粤顇=ky^2，發(fā)現(xiàn)隨著k不同，極限不同，這說明重極限不存在，f在原點(diǎn)不可微！

3（福州大學(xué)，北師大）

第一問：按定義做就可以了，由于題目中出現(xiàn)了絕對(duì)值，所以就考慮單側(cè)極限，讓左側(cè)極限=右側(cè)極限，就可以得到偏導(dǎo)數(shù)存在的條件了，按照寫出左側(cè)和右側(cè)的極限就可以。

第二問：考慮可微性，仍然是寫出那個(gè)表達(dá)式，去求重極限，由于此處可微，所以重極限存在，趨于0，對(duì)于放縮過程中注意要用到一個(gè)不等式“（|a|+|b|）^2≤2（a^2+b^2）”推出“（|a|+|b|）/根號(hào)下（a^2+b^2）≤根號(hào)2”，即本題的“（|x|+|y|）/根號(hào)下（x^2+y^2）≤根號(hào)2".

【學(xué)習(xí)一下這個(gè)不等式】

四、課本多元函數(shù)連續(xù)性16.3及總復(fù)習(xí)題（相關(guān)習(xí)題補(bǔ)充）