08｜數(shù)列和級數(shù)（一）： 當(dāng)下很重要，但趨勢更重要 - 得到APP (dedao.cn)

09｜數(shù)列和級數(shù)（二）：傳銷騙局的數(shù)學(xué)原理 - 得到APP (dedao.cn)

10｜數(shù)列和級數(shù)（三）：藏在利息和月供里的秘密 - 得到APP (dedao.cn)

數(shù)學(xué)之用

：公平地講，很難找到某一個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，學(xué)了之后讓見識馬上提升，但是通過學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)知識和方法，幫助我形成了系統(tǒng)的做事方法，并且改進(jìn)了看待世界的角度，這卻不是虛言。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的技巧

：通過一些關(guān)鍵的概念與線索把各個知識點(diǎn)串聯(lián)起來，比如黃金分割、畢達(dá)哥拉斯定理。

為什么要研究數(shù)列

：數(shù)學(xué)研究的不是數(shù)字，而是數(shù)字之間的規(guī)律。這些規(guī)律與現(xiàn)實(shí)生活的一些事情相關(guān)，于是數(shù)學(xué)就能運(yùn)用在我們真實(shí)的世界里了

什么是數(shù)列

：數(shù)列，其實(shí)講的就是一個趨勢。很多時候，我們不僅關(guān)心當(dāng)前這個數(shù)有多大，或者我們有多少錢，多少資源，還關(guān)心明天它能變得多大，變得多快，這就是數(shù)列的意義。

斐波那契數(shù)列

最初就是描述兔子繁衍規(guī)律的，1，1，2，3，5，8，13，21，…… 雖然比不上指數(shù)增長，但也很快了，增長速率最終會趨近于黃金分割比。

現(xiàn)實(shí)案例：1859 年，一個名叫托馬斯·奧斯汀的英國人移民來到澳大利亞，但發(fā)現(xiàn)澳大利亞沒有兔子可打，便讓侄子從英國帶來了24只兔子。。。幾十年后，兔子數(shù)量飆升至40億只，在澳大利亞造成了巨大的生態(tài)災(zāi)難。

公比大于1的等比數(shù)列應(yīng)用（指數(shù)爆炸）：略

公比小于1的等比數(shù)列應(yīng)用

：對于等比數(shù)列，我們一般理解的是快速上漲，但是它也可能代表不斷地衰減。

炒股的人有這樣的經(jīng)驗(yàn)，如果每次損失10%，用不了幾次就損失一半了，具體講，大約6次，就會損失一半，大約13次就會損失3/4。

今天用于測定年代的碳-14測定法，根據(jù)生物遺骸體內(nèi)碳-14的比例，結(jié)合碳-14衰變的速率（也稱為半衰期），就能算出古代生物體距今的時間。

級數(shù)

：計算數(shù)列中每一個元素之和了，這個算出來的和，被稱為級數(shù)。

應(yīng)用：比如說，一個剛工作的年輕人，一年掙10萬元，能存20%的收入，他每年的工資增長10%。當(dāng)?shù)氐姆績r是300萬元，首付要20%也就是60萬，那么他工作多少年能夠付得起首付呢？

計算公式：S（N）= 2（1 + 1.1 + 1.1^2 + 1.1^3 + …… + 1.1^[N-1])，這個N最后算出來就是15年。

級數(shù)的發(fā)散性和收斂性

：當(dāng)公比r>=1時，這個級數(shù)就發(fā)散，加起來無窮大。當(dāng)公比r<1時，它就收斂，加起來是一個有限的數(shù)。我們在生活中，有些時候希望r>1，比如我們要傳播消息，但是有些時候我們希望r<1，比如我們不希望謠言擴(kuò)散，時間會讓r逐步下降，這時要做的事情是千萬不要挑起新的事端，火上澆油。

傳銷騙局

：假如張三和他所有的下線每人都發(fā)展了兩個人，這樣張三從各層下線掙到的錢的總數(shù)是：4000 + 1600 + 640 + …… = 6666.67元雖然看上去他從無窮多的人身上掙到了錢，可是，這掙錢的效率衰減很快。他掙的錢還沒有付出的本錢多。這就是級數(shù)的收斂。

社交網(wǎng)絡(luò)上的信息傳播問題

：一條信息總是傳著傳著就死了。大部分公眾號文章的閱讀量都不過萬。那么問題出在哪里呢？我們就用等比級數(shù)分析一下。。。不僅媒體如此，任何一個產(chǎn)品，要想成為爆款，都需要提高轉(zhuǎn)發(fā)率p這個比例，也就是大家使用后滿意，然后愿意主動宣傳的比例。

核裂變的鏈?zhǔn)椒磻?yīng)

：能夠讓鏈?zhǔn)椒磻?yīng)維持的最小鈾塊體積被稱為臨界體積，它其實(shí)就是保證r>1的體積。原子彈的臨界體積是多少起初大家并不清楚，而這又顯然無法通過試驗(yàn)測量出來，因?yàn)楦悴缓镁蜁a(chǎn)生核爆炸。所幸的是，奧本海默通過數(shù)學(xué)計算準(zhǔn)確算出了這個臨界體積，這才讓曼哈頓計劃得以成功。從這里我們又可以看到數(shù)學(xué)的預(yù)見性。

應(yīng)用關(guān)幾何級數(shù)的知識，分析貸款利率方面的一些注意事項(xiàng)。

假定你買房要向銀行貸款120萬，年化利率是6%，有人可能會想，利率6%，10年還清，利息就是120萬x6% = 7.2萬。每個月既要還本金，也要還利息，本息平攤到12個月，每個月1萬本金，600利息。

今天很多P2P貸款公司，就是這么和大家算賬的，一些不良中介，也是這么算錢的。這其實(shí)多交了很多的利息。那么我們每個月應(yīng)該付多少錢呢？這取決于兩種常見的還款方式我們采用哪一種。

兩種貸款方式

：

等額本金償付

，就是每個月還的本金數(shù)相同。在這個例子中，利息是隨著本金歸還后，不斷減少的。..這是一個等差級數(shù)，第1個月利息是600，第2個月是，120個月加起來是123.63萬。其中利息3.63萬，而在前面P2P貸款錯誤的計算方法中，你支付了7.2萬的利息.

等額本息償付

，每個月還的本金和利息之和相同。..具體到這個例子每月要償付本息103,279.72元，利息共支付39,356.59元。相比第一種多支付了300多元的利息，但是它的好處是前幾個月的月供較低

兩個原則：

借錢不要去所謂的P2P一類的機(jī)構(gòu)。

永遠(yuǎn)記住“賣的人比買的人精”，不要試圖貪便宜。

利率和債券投資方面的關(guān)系

：未來在中國，隨著金融市場的完善，債券交易也會像股票交易一樣普遍，大家都需要了解這方面的知識。而這里面核心的知識，就是復(fù)利增長的數(shù)學(xué)原理。

各國國債付

利息的方式

有兩種，一種是到期后連本帶息歸還，還有一種是半年（或者一年）付一次利息，這時利息仍然可以再投資，就和上面一樣了。

要注意是

復(fù)利還是單利

，比如要購買（復(fù)利）年息5%的10年期國債，10年后到期實(shí)際能到62.9%的利息，而理財機(jī)構(gòu)可能會把他包裝為（單利）年息6.29%的金融產(chǎn)品。

國債的

加息與減息

，加息意味著同樣面值的債券實(shí)際價值的貶值，降息意味著同樣面值債券的升值。比如央行的利率降低了0.5%，相應(yīng)10年期國庫券的利率也下調(diào)到4.5%，這時你手上那10000元的國庫券，就相當(dāng)于10489元新發(fā)行的國庫券，等于瞬間升值了5%左右。

該筆記已整合入個人知識體系，詳見 [筆記5](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=bbeb8a26832899a6)