沒有誰能拒絕降維打擊式的學(xué)習(xí)。如何巧妙地設(shè)置俯瞰，就像杰出的指揮官一樣部署火力，必將在新一代教學(xué)方案上塑造傳奇。

上篇的行文主線是解線性方程組，具體節(jié)點是：

雞兔同籠→克萊姆法則→行列式→行列式=0→；

克萊姆法則→解的意義→高斯消元法→線性變換→

線性代數(shù)在解線性方程組的運(yùn)算實踐中，發(fā)展出來了矩陣和線性變換的相關(guān)理論。

一個經(jīng)典的解線性方程組問題：雞兔同籠。

有一種做法是先假設(shè)全是雞或者假設(shè)全是兔：

這種解法是克萊姆法則的一個特例。它的思想在幾何直觀上是卓越的：同底不等高的面積之比=高的比

對于這個算術(shù)問題：

在這種寫法里，一維的數(shù)表被稱為“向量”，二維的數(shù)表被稱為“矩陣”，矩陣將向量進(jìn)行變換。

全是雞或兔的做法在圖2中的公式與套用克萊姆法則公式是一致的（如圖4），圖2中的公式只不過是在行列式（2維數(shù)表加豎線）計算時有一行的元素都是1，恰好計算省事了：

如果數(shù)表中的系數(shù)不為1時，行列式是怎樣計算的？

比如我們給出這樣一個線性方程組：

我們將x和y視為一種“向量的伸縮率”，是一種勾兌矩陣中兩個列向量的比例。

我們現(xiàn)在將這兩個列向量當(dāng)作基底，將它在坐標(biāo)系中畫出來：

我們可以直觀清晰地看到：線性方程組就是一個分向量的合成過程，而解線性方程組則是合向量的分解過程。

人們發(fā)現(xiàn)了這樣一種平行四邊形：

這種平行四邊形在變換前后是同底不等高的，則面積之比即為伸縮率。如圖，y=藍(lán)色平行四形面積/粉色平行四邊面積=2；?

同理，對于另一個伸縮率x，

2維的行列式就是這種手性的平行四邊形面積。3維時是對應(yīng)的平行六面體體積。行列式就是這種向量們圍成的手性體積大小。我們都是用的右手系，所以右手性為正、左手性為負(fù)。

這里的τ表示“逆序數(shù)”，這個“逆序”是相對“正序”而言，逆序一次相當(dāng)于鏡像一次，改變手性，逆序兩次鏡像兩次，手性不變。

鏡像可以讓左右手彼此完成一次翻轉(zhuǎn)。

至此，我們借助生動的幾何圖景，獲得了兩個高屋建瓴的俯瞰：

一是行列式的幾何意義：以向量作為封閉圖形的邊長、按平行四邊形法則張成的封閉圖形的手性大小。

二是克萊姆法則的幾何意義：以解向量為系數(shù)矩陣中列向量的伸縮率，并用同底不等高的平行四邊形面積之比來算出。

在知識學(xué)習(xí)中，獲得俯瞰是極為重要的，有助于使思維清晰。

一些生硬的知識在擁有俯瞰后一目了然：

?這些定理在幾何上都是顯然的：

? ? ? ?行列式在有些情況下=0，其幾何解釋為封閉圖形中有向量“被投影”。比如說下圖中向量組{a，b，c}張成的平行六面體是三維的，但向量組{AD，b，c}張成的封閉圖形就是底面的平行四邊形。相當(dāng)于有高度的向量a被投影到{b，c}所在平面。

? ? ? ?向量組如果虧秩，就是線性相關(guān)的，即向量組中有向量可以被其他向量“勾兌”。

? ? ? ?VA的三個向量共面時，向量個數(shù)大于當(dāng)前向量組所占空間維度，即虧秩，一定有向量可以被勾兌出來，比如V2可以被V1和V3勾兌出來。這種勾兌我們稱為“線性表出或線性表示”。

? ? ? ?向量組中那些不能被相互勾兌的向量們，稱為線性無關(guān)的向量組，簡稱無關(guān)組，比如上圖中的VB。當(dāng)包含向量個數(shù)最多的時候，我們稱之為“極大無關(guān)組”。它在幾何上也是顯然的，就是挑那些向量可以圍成維度與向量個數(shù)相同的封閉圖形。比如VA中任選兩個向量即可。如果一個3階的向量組只能圍成2維的封閉圖形，則其極大無關(guān)組就包含2個線性無關(guān)的向量。

你現(xiàn)在已經(jīng)初步嘗到了獲得俯瞰后的甜頭。而作者本篇文章的特色也在于如何巧妙地設(shè)置俯瞰，打一個生動的比方，它們就像是鞏固我們知識版圖的長城哨所（立于嶺上）：

? ? ? ?知識的版圖并不總是一馬平川的。我們熟知的思維導(dǎo)圖是河流狀的，它在“思維的平野上”是奏效的，比如一些識記類的知識。而有認(rèn)知難度的“思維的山川”會導(dǎo)致最具總結(jié)性的干流往往是在學(xué)完后才能出現(xiàn)，初學(xué)者往往困惑于半山腰的云霧中。

? ? ? ?具有“分水嶺”地位的公理們，有時候會難以攀登。這就需要教學(xué)者“修筑某些棧道工事”，有時候可以在公理系統(tǒng)的地貌之上人為修筑一些俯瞰。比如這篇文章的幾何觀點及克萊姆法則的幾何意義。

? ? ? ?一門學(xué)科的圖景，可能有像藍(lán)天白云一樣的宏大敘事或背景，但最關(guān)鍵的是拿下這片山地并馴服河流，使之灌溉大片的領(lǐng)域來生產(chǎn)莊稼和各類果實。

? ??? 《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》的作者、一代數(shù)學(xué)教學(xué)宗師克萊因認(rèn)為，教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導(dǎo)學(xué)生繞過懸?guī)r、渡過險灘。所以與人民利益一致的教員同志會盡可能讓群眾容易地登頂造化鐘神秀的俯瞰，絕不會故弄玄虛或引入歧途。

? ? ? ?克萊姆法則與行列式的幾何圖景是線性代數(shù)的第一險要關(guān)口，它也是通往后續(xù)章節(jié)的門戶。主路線仍是解線性方程組，從解線性方程中來，到解線性方程組中去。沿著這條蜿蜒于山嶺間的主路，前往下一個關(guān)口：高斯消元法。

? ? ? ?在克萊姆法則中，如果分母位置上的系數(shù)矩陣的行列式=0，則解會成為無窮大——然而事實上也確實是“無窮大”——無窮多的點！我們先來看線性方程組的解對應(yīng)只有一個點（唯一解）的情況：回顧剛才圖5的線性方程組：

我們知道二元一次線性方程的幾何意義是坐標(biāo)系中的一條直線：

二元線性方程組的幾何意義就是聯(lián)立直線們，則解就是直線們的交集。

三維時，三元一次線性方程的幾何意義是比3維空間小一維的2維平面。此時求方程組的解就是求平面的交線。

推廣到n維，n元一次方程的幾何意義就是n-1維的超平面。求解就是求交集。而之所以是n-1維，是因為n元一次方程的系數(shù)向量消滅了一個自由度的不確定性，使自變量們被約束在n-1維的超平面內(nèi)活動。

? ? ? ?上圖中的方程組的得數(shù)向量均為0，如果系數(shù)向量和解向量的內(nèi)積=0——則說明這兩個向量正交。如果一個系數(shù)矩陣左乘一個解向量=零向量，則這個矩陣和解向量在空間上是正交的，此時的幾何圖景是“旗桿豎地”：

可以簡明地展示：系數(shù)矩陣的維度+解空間的維度=n。這也是齊次線性方程組的一個重要定理。

我們學(xué)的矩陣的相關(guān)知識，有一大部分都是應(yīng)用于解線性方程組。對于矩陣，最重要的知識莫過于初等行變換。初等行變換經(jīng)常運(yùn)用于高斯消元法，我們總是習(xí)慣于用消元法來解方程的，如下圖：

它的幾何解釋是：盡可能使直線方程“擺正方向”，即由傾斜變換到橫平豎直。

上圖的系數(shù)矩陣被稱為“行階梯形矩陣”，它不是消元徹底的系數(shù)矩陣，消元徹底的系數(shù)矩陣我們稱為“行最簡形矩陣”，

它的幾何解釋是直線方程完全與坐標(biāo)軸平齊或垂直，則解集一目了然

即上述線性方程組的有唯一解（2,2）。

? ? ? ?上述兩元一次方程組的高斯消元法，其實是對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換。一共有三種初等行變換，它們分別是互換兩行、數(shù)乘、數(shù)乘再相加到某一行，它們在幾何上的解釋分別為：直線編號改變、直線的法向量伸縮、直線系（一種繞定點旋轉(zhuǎn)直線的操作），都不會改變直線組的交點（解）。

? ? ? ?對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換這一操作也可以用矩陣來描述，用初等行變換矩陣。比如對第2行向量×3再-第一行向量，可以這樣描述：

如上圖，我們在原來的系數(shù)矩陣左側(cè)乘以具備這一功能的矩陣。我們對矩陣這個靜態(tài)的2維數(shù)表有了更深入的認(rèn)識：矩陣是描述線性變換的向量組。而且當(dāng)變換矩陣在左側(cè)時是行變換?；仡櫩巳R姆法則，解向量作為將系數(shù)矩陣列向量進(jìn)行列變換的伸縮率，事實上向量本身也是一維的矩陣，變換矩陣在右側(cè)時是列變換。

至此，高斯消元法在知識版圖中的地緣意義凸顯：高斯消元法是登頂線性代數(shù)最高俯瞰點——線性變換觀點的另一個門戶（上一個門戶是克萊姆法則）。

線性變換觀點是top級俯瞰。我們首先用它來解決一個初學(xué)者常見的困惑：在求解線性方程組時，為什么只能對系數(shù)矩陣進(jìn)行行變換而不能進(jìn)行列變換？因為列變換是在更改解向量：

此時的得數(shù)向量是在默認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)單位正交基下的坐標(biāo)：

如果對系數(shù)矩陣的兩個列向量u和v變換，無論是伸縮、互換位置還是伸縮+旋轉(zhuǎn)，則這個得數(shù)向量就不再是現(xiàn)在坐標(biāo)系中的2u+2v了，也就是說方程的解不再是（2,2），這樣一來就“算錯了數(shù)”。

下一篇是在top級俯瞰線性變換觀點下重新審視線性代數(shù)，將比這一篇還要傳神，敬請期待。