動(dòng)力學(xué)模態(tài)介紹
動(dòng)力系統(tǒng)理論和擬序結(jié)構(gòu)
擬序結(jié)構(gòu)是自然和工程系統(tǒng)中常見(jiàn)的現(xiàn)象，隨著時(shí)間變化，流動(dòng)中產(chǎn)生的擬序射流和渦流在湍流、行星大氣、海洋洋流以及化學(xué)混合等問(wèn)題中顯得尤為顯著。在數(shù)學(xué)、物理和工程學(xué)科中，如何客觀地識(shí)別和預(yù)測(cè)這些特征一直是一個(gè)備受關(guān)注的問(wèn)題，因此出現(xiàn)了多種技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。這些技術(shù)與動(dòng)力系統(tǒng)理論密切相關(guān)，不同的方法強(qiáng)調(diào)了不同的方面，例如幾何/狀態(tài)空間視角，或算子理論/概率視角（當(dāng)然這種分類(lèi)并不嚴(yán)格，因?yàn)橛行┓椒ńY(jié)合了兩個(gè)視角）。
拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（LCS）方法是一種基于動(dòng)力系統(tǒng)幾何視角的擬序結(jié)構(gòu)探測(cè)方法，利用龐加萊提出的幾何方法，圍繞微分幾何、軌跡和不變流形的概念構(gòu)建框架。然而，幾何觀點(diǎn)往往無(wú)法適用于實(shí)際系統(tǒng)中的許多情況。為了解決高維非線性動(dòng)力學(xué)演化問(wèn)題，Budisic等[1]提出了使用算子理論來(lái)解決相應(yīng)問(wèn)題，其中Koopman算子[2]是流動(dòng)問(wèn)題中最常用的。Koopman理論表明，非線性演化過(guò)程可以通過(guò)一個(gè)線性坐標(biāo)來(lái)捕捉其完整的非線性動(dòng)力學(xué)行為，分解得到的Koopman模態(tài)可以看作是流場(chǎng)演化的時(shí)空擬序結(jié)構(gòu)?；谒阕永碚摰姆椒梢詾榛诰€性系統(tǒng)理論的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)估計(jì)以及控制提供很大的潛力，并且不需要犧牲部分信息，因?yàn)槿志€性坐標(biāo)可以捕捉到所有信息。然而，這種方法也存在一些弱點(diǎn)，即與物理直覺(jué)沒(méi)有直接的聯(lián)系，需要將思路從考慮狀態(tài)空間中點(diǎn)的軌跡演化轉(zhuǎn)化為考慮特征函數(shù)或者觀測(cè)量的演化。
Kooman理論和動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解
基于Koopman算子的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法是由Mezic[3]于2005年提出的，即通過(guò)廣義拉普拉斯分析發(fā)展了一種估計(jì)Koopman算子點(diǎn)譜的方法。在之后的工作中，Rowley等人[4]建立了Koopman模態(tài)展開(kāi)與Schmid等[5]提出的動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解（DMD，Dynamic Mode Decomposition）技術(shù)的緊密聯(lián)系，即將按時(shí)間順序的時(shí)空數(shù)據(jù)集分解為所謂的動(dòng)力學(xué)模態(tài)。與本征正交分解（POD）類(lèi)似，DMD通過(guò)求解由實(shí)驗(yàn)快照構(gòu)造的矩陣的特征值問(wèn)題來(lái)提取模態(tài)，但DMD替換了POD中所使用的協(xié)方差矩陣，而是采用時(shí)移交叉相關(guān)矩陣，用于捕獲下一時(shí)間步的快照對(duì)當(dāng)前時(shí)間步的快照的線性依賴性。之后，為了提高效率和準(zhǔn)確性，研究者提出了多種DMD的求解方法。 Williams等人[6]進(jìn)一步研究了Koopman模態(tài)展開(kāi)與DMD之間的聯(lián)系，他們開(kāi)發(fā)了擴(kuò)展動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解（EDMD，Extended Dynamic Mode Decomposition ）方法。在EDMD中，Koopman算子的特征值問(wèn)題被轉(zhuǎn)換為求解與Koopman算子作用到通用觀測(cè)量字典這一操作相關(guān)的有限維矩陣特征值問(wèn)題上。標(biāo)準(zhǔn)DMD可以看作是由狀態(tài)向量形成的字典的EDMD的特定實(shí)例，但是EDMD中提出的通用方法是使用更豐富的字典，以提高計(jì)算出的特征值和Koopman模態(tài)的準(zhǔn)確性。但是，無(wú)論采用怎樣的EDMD的計(jì)算策略，例如通過(guò)支持向量機(jī)或深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法獲得的這種向更高維度的空間的投影，可能會(huì)導(dǎo)致更好的預(yù)測(cè)結(jié)果，卻都會(huì)損失可解釋性。這種方法甚至還會(huì)投影到與所考慮的基本物理以及非線性流形的動(dòng)力學(xué)沒(méi)有自然聯(lián)系的觀測(cè)量上。因此，Kutz等人[7]表明，EDMD等方法需要恰當(dāng)?shù)慕徊骝?yàn)證策略來(lái)保證該技術(shù)的有效性。
常見(jiàn)DMD算法
動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解（DMD，Dynamic Mode Decomposition）是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，用于從時(shí)空數(shù)據(jù)集中提取動(dòng)態(tài)模式。以下介紹幾種常見(jiàn)的DMD算法：
標(biāo)準(zhǔn)DMD算法：標(biāo)準(zhǔn)DMD算法通過(guò)對(duì)時(shí)空數(shù)據(jù)集進(jìn)行奇異值分解（SVD），從而求解出DMD矩陣的特征值和特征向量。這些特征向量構(gòu)成了DMD模態(tài)，用于描述時(shí)空數(shù)據(jù)集的動(dòng)態(tài)行為。標(biāo)準(zhǔn)DMD算法的優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，但對(duì)于大型數(shù)據(jù)集可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間的問(wèn)題。
低秩DMD算法：低秩DMD算法通過(guò)對(duì)時(shí)空數(shù)據(jù)集進(jìn)行截?cái)郤VD，以縮小DMD矩陣的維度，從而減少計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間的需求。低秩DMD算法的缺點(diǎn)在于可能會(huì)丟失數(shù)據(jù)的一些重要特征。
稀疏DMD算法：稀疏DMD算法通過(guò)對(duì)時(shí)空數(shù)據(jù)集進(jìn)行稀疏表示，以減少DMD矩陣的維度，從而減少計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間的需求。稀疏DMD算法的優(yōu)點(diǎn)在于可以更好地處理大型數(shù)據(jù)集，但缺點(diǎn)在于可能會(huì)引入偽特征。
擴(kuò)展DMD算法：擴(kuò)展DMD算法通過(guò)對(duì)DMD矩陣的字典進(jìn)行擴(kuò)展，從而提高對(duì)動(dòng)態(tài)行為的描述能力。擴(kuò)展DMD算法的優(yōu)點(diǎn)在于可以更好地處理復(fù)雜系統(tǒng)，但缺點(diǎn)在于需要更多的計(jì)算資源和時(shí)間。
動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解的應(yīng)用
針對(duì)失速機(jī)翼流場(chǎng)進(jìn)行的Koopman分析，大多采用的是動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解方法。其中Tu等[8]研究了橢圓前緣平板的分離流動(dòng)，他們對(duì)比了POD和Koopman模態(tài)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)分離點(diǎn)在尾緣附近時(shí)，同時(shí)有剪切層和遠(yuǎn)尾跡支持的Koopman模態(tài)，而在POD結(jié)果中則沒(méi)有對(duì)應(yīng)的模態(tài)，這一模態(tài)暗示了不同區(qū)域流場(chǎng)結(jié)構(gòu)之間的干擾導(dǎo)致的影響。Mariappan等[9]用DMD分析了實(shí)驗(yàn)采集的俯仰翼型周?chē)膭?dòng)態(tài)失速流場(chǎng)，他們主要關(guān)注了去除翼型周?chē)鲌?chǎng)以及相位平均對(duì)于DMD模態(tài)結(jié)構(gòu)的影響，這些都是實(shí)驗(yàn)采集流場(chǎng)數(shù)據(jù)時(shí)需要考慮的實(shí)際問(wèn)題。Mohan等[10]利用DMD分析了隱式大渦模擬方法求解得到的浮沉SD7003機(jī)翼周?chē)膭?dòng)態(tài)失速流場(chǎng)。他們對(duì)比了POD模態(tài)和DMD模態(tài)，并根據(jù)DMD模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征值進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，盡管實(shí)際上Schmid[5]表示這種對(duì)于非線性NS方程求解的流場(chǎng)數(shù)據(jù)的直接DMD計(jì)算難以與全局穩(wěn)定性分析方法等價(jià)。另外，他們也利用部分模態(tài)進(jìn)行了流場(chǎng)重構(gòu)并分析了特定時(shí)空擬序結(jié)構(gòu)對(duì)于整體流場(chǎng)的貢獻(xiàn)?？艿萚11]對(duì)DMD在流體力學(xué)中的應(yīng)用做了十分詳細(xì)的總結(jié)。另外，寇等采用了帶外部輸入的DMD方法對(duì)非定常流場(chǎng)進(jìn)行了流場(chǎng)降階建模[12]，Naderi等[13]也結(jié)合DMD和機(jī)器學(xué)習(xí)方法構(gòu)建了針對(duì)大攻角俯仰振蕩翼型的降階模型。因此，基于模態(tài)分解的流場(chǎng)降階模型也具有很大的潛力。?
1.Tu等[8]研究了橢圓前緣平板的分離流動(dòng)，他們對(duì)比了POD和Koopman模態(tài)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)分離點(diǎn)在尾緣附近時(shí)，發(fā)現(xiàn)了DMD頻譜中除了出現(xiàn)了一個(gè)基頻及其的幾個(gè)倍頻成分外，還出現(xiàn)了相對(duì)于這組諧波的非諧波頻率。觀察基頻和其各級(jí)諧波的DMD模態(tài)，如圖，發(fā)現(xiàn)主要為尾跡中交替出現(xiàn)的渦系主導(dǎo)的模態(tài)。
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?而非諧波成分對(duì)應(yīng)的DMD模態(tài)，則明顯出現(xiàn)了剪切層小渦的模態(tài)，如圖。在剪切層中放置探針，測(cè)量脈動(dòng)頻率發(fā)現(xiàn)和DMD頻譜中的非諧波頻率一致。這表明這一頻率成分是由剪切層小渦主導(dǎo)。
2. 吳等人[14]利用POD和DMD方法對(duì)不同間隙壓氣機(jī)旋轉(zhuǎn)不穩(wěn)定性特性進(jìn)行了分析
DMD方法將流場(chǎng)按照頻率分解為成對(duì)出現(xiàn)的不同模態(tài)，不同DMD模態(tài)從頻率和空間周期上也對(duì)應(yīng)著不同的空間周向模態(tài)，得到q=1.98%情況旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下周向模態(tài)的穩(wěn)定性順序?yàn)镽I，RI側(cè)峰等。DMD方法進(jìn)一步展示了，隨葉頂間隙的減小，RI現(xiàn)象逐漸減弱并消失。
POD與DMD方法對(duì)空間模態(tài)的排序表現(xiàn)出很明顯的一致性。這是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的特點(diǎn)：不同的能量強(qiáng)度的流動(dòng)結(jié)構(gòu)是由不同頻率的轉(zhuǎn)動(dòng)造成的，對(duì)于RI中不同頻率的連續(xù)模態(tài)也是如此。所以按照能量或按照頻率對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行分解和排序得到了很相近的結(jié)果。
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