一、向量的基本概念

1、向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量。

（向量兩大要素：大小和方向，二者缺一不可。向量的大小是代數(shù)特征，方向是幾何特征。）

2、向量的表示：

向量可以用有向線段（帶有方向的線段）表示，有向線段的長度表示向量的大小，線段的箭頭指向就是向量的方向，線段的起點叫做向量的起點，線段的終點叫做向量的終點。

一般地，可以用有向線段的兩個端點（并且在端點上加上“→”符號）來表示，也可以用加租的小寫字母來表示。

例如：下圖中向量表示為AB向量（無法在AB上添加箭頭，抱歉?。ㄗx作AB向量）或“a“（讀作a向量，書寫時應(yīng)在字母上加“→”符號）

3、向量的模（長度）：

（1）向量模的概念：表示向量的有向線段的長叫做向量的模，也叫做向量的長度，如上圖中，a向量記作|a|。

（2）平行向量的概念：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，用符號“∥”表示。

（3）零向量的概念：模為零的向量叫做零向量，記作“0”，零向量的方向是不確定的，零向量與任一向量平行。

（4）相等向量的概念：如果兩個向量的模相等且方向相同，那么這兩個向量相等，即：互為相等向量。

（5）相反向量的概念：如果兩個非零向量的模相等且方向相反，那么這兩個向量互為相反向量（負(fù)向量）。

二、向量運算法則

1、向量的加法：

①三角形法則：

已知非零向量a，b（已知向量的方向和大?。?，在平面上任取一點A，作(AB向量) =a，(BC向量)=b，并且作(AC向量) ，則(AC向量) 叫做向量a與向量b的和，記作a+b。

如圖所示：(AC向量)=?a+b

②平行四邊形法則：

已知非零向量a，b（已知向量的方向和大小），在平面上任取一點A，作（AB向量）=a,（AD向量）=b，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則（AC向量）=?a+b。

如圖所示：（AC向量）=?a+b

③運算律：

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

2、向量的減法：

已知非零向量a，b（已知向量的方向和大小），在平面上任取一點O，作(OA向量) =a，(OB向量)=b，作(BA向量)，則(BA向量)=a-b。

一個向量減去另一個向量等于加上它的相反向量，即：a-b=a+-(b)。

如圖所示：(BA向量)=a-b

三、向量的數(shù)乘運算

1、概念：實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作入a，此向量的模為|入a|=|入|×|a|。

規(guī)定：當(dāng)向量a不為零向量時，若入＞0時，入a與a同向；若入＜0時，入a與a反向；若入=0時，入a=0。

2、數(shù)乘運算的幾何意義：

入a是把向量a沿a的方向或a的反向放大或縮小到原來的|入|倍。

3、運算律：

四、向量的坐標(biāo)運算

1、什么是向量的坐標(biāo)？設(shè)(AB向量)的起點A的坐標(biāo)為（a，b），終點B的坐標(biāo)為（c，d），則(AB向量)的坐標(biāo)為（c-a，d-b），(AB向量)的模為√【（c-a）^2+（d-b）^2】。

2、向量的坐標(biāo)運算公式：設(shè)向量a=（e，f），向量b=（g，h），λ∈R，則有：

3、線段的定比分點公式：（入≠0）

設(shè)（AB向量）=入（BC向量），A（a,b），B（c,d），C（e,f），則有：

已知（AB向量）=入（BC向量），A（a,b），B（c,d），C（e,f），所以

化簡得到：

當(dāng)=1時，（AB向量）=（BC向量），此時B為A、C中點，則有中點坐標(biāo)公式

4、三角形重心公式：

設(shè)△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為：A（a,b），B（c,d），C（e,f），重心G（x,y），則有重心坐標(biāo)公式

證明如下：

因為△ABC三個頂點為：A（a,b），B（c,d），C（e,f），G（x,y）為三角形的重心（三邊中線的交點，將中線分成2：1的比例），

設(shè)D為B、C的中點，D【（c+e）/2，（d+f）/2】則有AG/DG=2/1，即：（AG向量）=2（GD向量），

所以，根據(jù)定比分點公式可得，

5、向量平移公式：

如果點P（x,y）按向量a=（m,n）平移到點P‘（x’,y’），則（OP’向量）=（OP向量）+a（O為原點），即：

五、向量的內(nèi)積

1、向量的夾角：

（1）概念：已知兩個非零向量a和b，作（OA向量）=a,（OB向量）=b，我們把由射線OA與OB所形成的角∠AOB叫做向量a與向量b的夾角，記作<a,b>。

（2）規(guī)定：

①向量的夾角的取值范圍為[0°，180°]；

②當(dāng)<a,b>=90°時，a與b垂直；

③當(dāng)<a,b>=180°時，a與b反向（非反向量）；

④當(dāng)a×b≤0時，<a,b>的取值范圍為[90°，180°]；

⑤當(dāng)a×b≥0時，<a,b>的取值范圍為[0°，90°]。

2、向量的內(nèi)積：設(shè)向量a=（e，f），向量b=（g，h），它們的夾角為θ。

（1）向量坐標(biāo)公式：

（2）什么叫向量的內(nèi)積（數(shù)量積）？兩個非零向量a，b的模與它們夾角的余弦之積叫做向量a，b的內(nèi)積，也叫做數(shù)量積，其結(jié)果為一個數(shù)量。

數(shù)量積公式：a×b=|a|×|b|×cos<a,b>

（3）向量的夾角公式：

cosθ=(a×b)/(|a|×|b|)=(e×g+f×h)/(√（e^2+f^2 ）×√（g^2+h^2）)