一、前提條件 在三維空間的宇宙中存在質(zhì)量分別為M和m的甲、乙兩天體。甲、乙之間的距離為r。 Ⅰ、其他天體對(duì)甲、乙兩天體的引力

遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于

兩天體之間的引力，

忽略

不計(jì)； Ⅱ、甲、乙兩天體的半徑

遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于

它們之間的距離r，

忽略

不計(jì)，將兩天體視作質(zhì)點(diǎn)； Ⅲ、m?M，即乙天體質(zhì)量

遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于

甲天體，

忽略

乙天體對(duì)甲天體的引力。 在滿足以上三個(gè)前提的簡(jiǎn)單二體系統(tǒng)中，甲天體不受力，靜止不動(dòng)，稱為中心天體，設(shè)其處于空間中O點(diǎn)，易知點(diǎn)O為定點(diǎn)；乙天體只受來(lái)自甲天體的引力，稱為小天體，設(shè)其位置為空間中C點(diǎn)，易知點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn)。 二、需要用到的向量公式 本文用紅色加粗拉丁字母表示向量，用同一個(gè)字母黑色不加粗表示它的模，如a是

a

向量的模。 ①向量?jī)?nèi)積：

a·b

=abcosθ，θ為

a

、

b

兩向量的夾角，θ∈〔0，π〕，內(nèi)積結(jié)果為標(biāo)量；向量數(shù)乘：λ

a

，即實(shí)數(shù)與向量的乘積； ②向量外積：

a×b

=absinθ

e

，外積結(jié)果為向量，

e

為

a×b

方向上的單位向量，垂直于

a

、

b

所在的平面，即

e

⊥

a

且

e

⊥

b

，至于是垂直向上還是垂直向下符合右手定則，由于對(duì)證明無(wú)影響，此處不作說明。內(nèi)積符號(hào)“

·

”（點(diǎn)乘）可省略，外積符號(hào)“

×

”（叉乘）不可省略。 ③由①、②可知，

a

、

b

同向時(shí)，

a·b

=ab，特別地，

a·a

=a2，

a

、

b

反向時(shí)，

a·b

=-ab；

a

⊥

b

時(shí)，

a·b

=0；

a

、

b

平行時(shí)，

a×b

=

0

，特別地，

a×a

=

0

，

a

⊥

b

時(shí)，

a×b

=ab

e

，?

a×b

?=ab。 ④向量滿足加法交換律和加法結(jié)合律；內(nèi)積滿足乘法交換律，外積滿足反交換律，即

a×b

=

-b×a

，內(nèi)積和外積均滿足乘法分配律，均不滿足乘法結(jié)合律；另，（λ

a

）

·b

=

a·

（λ

b

）=λ（

a·b

），此處點(diǎn)乘符號(hào)換成叉乘符號(hào)也符合。 ⑤1.

向量混合積輪換對(duì)稱性

：（

a×b

）

·c

=（

b×c

）

·a

=（

c×a

）

·b

； 2.

向量二重外積公式

：

a×

（

b×c

）=（

a·c

）

·b

-（

a·b

）

·c

。 ⑥如果向量

a

隨標(biāo)量x變化（可不變），則稱

a

是關(guān)于x的向量函數(shù)；如果標(biāo)量y隨標(biāo)量x變化（可不變），則稱y是關(guān)于x的標(biāo)量函數(shù)（此處定義不夠嚴(yán)謹(jǐn)）。

向量微分法則

： 設(shè)

a

、

b

是兩個(gè)關(guān)于x的向量函數(shù)，c是關(guān)于x的標(biāo)量函數(shù)。 1.d（

a·b

）=d

a·b

+

a·

d

b

， 2.d（

a×b

）=d

a×b

+

a×

d

b

， 即都是前微后不微加前不微后微，由于向量外積不符合乘法交換律，故式2等號(hào)右邊不改變加減號(hào)情況下

a

、

b

順序不可變。 3.

a·

d

a

=ada，簡(jiǎn)證：

a·a

=a2，兩邊同時(shí)微分（左邊用式1，右邊用復(fù)合函數(shù)微分法則）得2

a·

d

a

=2ada，再同時(shí)除以2得證。 4.d（

a

/c）=〔c（d

a

）-（dc）

a

〕/（c2），即上微下不微減上不微下微再除以下不微的平方。 ⑦

證明函數(shù)值守恒的核心判據(jù)

：dc/dx=0?c為常數(shù)標(biāo)量函數(shù)，d

a

/dx=

0

?

a

為常向量向量函數(shù)。 三、兩個(gè)重要守恒的證明 要想證明簡(jiǎn)單二體系統(tǒng)中的開普勒第一定律，核心是證明兩個(gè)向量守恒（向量為常向量，大小方向恒不變）：

⑴角動(dòng)量守恒，⑵拉普拉斯-龍格-楞次向量（LRL向量）守恒

。 ?定義小天體的矢徑

r

為由中心天體指向小天體的向量，

v

為小天體的速度，

r

?

v

，若

r

∥

v

，則小天體最終會(huì)撞向中心天體； 小天體受到中心天體的力

F

，由萬(wàn)有引力定律得

F

=〔GMm/（r2）〕·（

r

/r），F(xiàn)=GMm/（r2），

r

/r為

r

方向上的單位向量，G為萬(wàn)有引力常數(shù)； 小天體的動(dòng)量

p

=m

v

，角動(dòng)量

L

=

r×p

=

r×

（m

v

）=m（

r×v

）；小天體的加速度

a

；E為小天體的能量，E=（1/2）m

v·v

+

F·r

=（1/2）mv2-GMm/r； 顯然，

r

、

v

、

p

、

F

、

L

、

a

、r、v、p、F、L、a均為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)； 定義小天體的力矩

M

=d

L

/dt；加速度

a

=

F

/m=d

v

/dt，

v

=d

r

/dt；

F

=m

a

=m（d

v

/dt）=d（m

v

）/dt=d

p

/dt（式三?1）。 ?

角動(dòng)量守恒

：

M

=d

L

/dt=d（

r×p

）/dt =（d

r

/dt）

×p

+

r×

（d

p

/dt）（式二⑥2） =

v×

（m

v

）+

r×F

（式三?1） =

0

+

0

（二③，

r

∥

F

）=

0

。 即

M

=d

L

/dt=

0

（式三?），根據(jù)二⑦的判據(jù)，

L

為常向量，即角動(dòng)量守恒。 順便證明： 設(shè)小天體在dt時(shí)間內(nèi)，矢徑由

r

變成

r

+d

r

，位移為d

r

，轉(zhuǎn)過角度為dθ，則dt時(shí)間內(nèi)矢徑掃過的面積dS即為

r

、

r

+d

r

、d

r

組成的三角形的面積，則dS=1/2·?

r

??

r

+d

r

?sindθ，而?

r

??

r

+d

r

?sindθ恰好為

r×

（

r

+d

r

）的模長(zhǎng)，則d

S

=（1/2）〔

r×

（

r

+d

r

）〕=（1/2）（

r×r

+

r×

d

r

）（向量外積分配律）=（1/2）（

r×

d

r

）。 定義面積速度

B

為單位時(shí)間內(nèi)矢徑

r

掃過的面積，則

B

=d

S

/dt=（1/2）

r×

（d

r

/dt）=（1/2）

r×v

。則有

L

=2m

B

，角動(dòng)量

L

守恒，面積速度

B

也應(yīng)守恒。面積速度守恒，即為開普勒第二定律。 ?

拉普拉斯-龍格-楞次向量（LRL向量）

守恒： 定義拉普拉斯-龍格-楞次向量

A

=

p×L

-GMm2（

r

/r），亦簡(jiǎn)稱LRL向量，有些地方也用

B

=

v×L

-GMm（

r

/r）表示，顯然

A

=m

B

，兩者是等價(jià)的。 d

A

/dt=d（

p×L

-GMm2（

r

/r））/dt =d（

p×L

）/dt-GMm2d（

r

/r）/dt =（d

p

/dt）

×L

+

p×

（d

L

/dt）-（GMm2/r2）〔r（d

r

/dt）-（dr/dt）

r

〕（式二⑥2和二⑥4） =

F×L

+

0

-（GMm2/r3）〔r2（d

r

/dt）-r（dr/dt）

r

〕（式三?1、式三?） =

F×L

-（GMm2/r3）（

r·r·v

-

r·v·r

）（式三?1、二③、式二⑥3） =

F×L

-（GMm2/r3）〔

r×

（

v×r

）〕（式二⑤2逆用） =

F×L

-〔-（GMm/r3）〕〔

r×

（

r×p

）〕（外積反交換律） =

F×L

-

F×L

=

0

。 d

A

/dt=

0

，根據(jù)二⑦的判據(jù)，

A

為常向量，即拉普拉斯-龍格-楞次向量守恒。 ?求拉普拉斯-龍格-楞次向量模長(zhǎng)： dE/dt=d（（1/2）mv2-GMm/r）/dt =（1/2）md（v2）/dt-GMmd（1/r）/dt =（1/2）m·2vdv/dt+（GMm/r2）dr/dt =m

v·

d

v

/dt+（GMm/r3）rdr/dt（式二⑥3） =

v·

d（m

v

）/dt+（GMm/r3）

r·

d

r

/dt（式二⑥3） =

v·F

-

F·v

=0。 dE/dt=0，即小天體的能量守恒，E為常數(shù)。 因?yàn)?/p>

L

=

r×p

，則

L

⊥

p

，?

p×L

?=pL（二③）， （

p×L

）

·

（

p×L

）=?

p×L

?2=p2L2=m2v2L2， -2GMm2（

r

/r）

·

（

p×L

）=-2（GMm2/r）

r·

（

p×L

） =-2（GMm2/r）（

r×p

）

·L

（向量?jī)?nèi)積交換律及式二⑤1） =-2（GMm2/r）L2， 〔GMm2（

r

/r）〕2=G2M2m?。

A·A

=A2=〔

p×L

-GMm2（

r

/r）〕

·

〔

p×L

-GMm2（

r

/r）〕=（

p×L

）

·

（

p×L

）-2GMm2（

r

/r）

·

（

p×L

）+〔GMm2（

r

/r）〕2（向量外積分配律） =m2v2L2-2（GMm2/r）L2+G2M2m? =2mL2〔（1/2）mv2-GMm/r〕+G2M2m? =2mL2E+G2M2m?，即

A2=2mL2E+G2M2m?

，則A=√（A2）=√（2mL2E+G2M2m?）。 四、推出軌道定律 以中心天體位置點(diǎn)O為極坐標(biāo)原點(diǎn)，

A

的方向?yàn)闃O軸方向（

p×L

既⊥

p

且⊥

L

，則

p×L

在

v

和

r

所在的平面，且

p×L

⊥

v

，則

A

在

v

和

r

所在的平面），建立

r

、

v

所在平面的極坐標(biāo)系， 對(duì)

A

=

p×L

-GMm2（

r

/r）兩邊同時(shí)

·r

，設(shè)

A

與

r

的夾角為θ，得

A·r

==

p×L·r

-GMm2（

r

/r）

·r

， 再化得Arcosθ=（

r×p

）

·L

-GMm2（式二⑤1）， Arcosθ=L2-GMm2r，再化得

r=（L2/GMm2）/〔1+（A/GMm2）cosθ〕

，此式是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程。離心率

e=A/GMm2

，半通徑

p=L2/GMm2

。 ⅰ.e=0時(shí)，小天體軌道為圓軌道； ⅱ.0＜e＜1，小天體軌道為橢圓軌道； ⅲ.e=1，小天體軌道為拋物線軌道； ⅳ.e＞1時(shí)，小天體軌道為雙曲線軌道。