A-0-1微元與小量（2/2）

2023-08-26 18:09 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

0.1.4 小量計算

1.高階小量舍去

一般情況下，高階無窮小量可以直接舍去。

比如在計算勻變速直線運動時，當 $%20%5CDelta%20t%5Crightarrow%200$ ，初速度為 $v_0$ ，末速度為 $v_0%2Ba%5CDelta%20t$ 。對應位移 $%5CDelta%20x$ 滿足

$v_0%5CDelta%20t%5Cle%5CDelta%20x%5Cle(v_0%2Ba%5CDelta%20t)%5CDelta%20t%3Dv_0%5CDelta%20t%2Ba(%5CDelta%20t)%5E2$

由于 $a(%5CDelta%20t)%5E2$ 是 $v_0%5CDelta%20t$ 的高階無窮小量，可以忽略不計，

所以 $%5CDelta%20x%3Dv_0%20t$ ，可看成勻速直線運動。

同理，當 $%5CDelta%20t%5Crightarrow%200$ 時，我們可以將曲線運動看成直線運動，將變加速運動看成勻加速運動。

2.保留一階小量

另外一些情況，題目要求保留到一階無窮小量時，可以利用一階等價無窮小，將二階及以上的無窮小量舍去。比如化簡 $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1-x%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%7D%7D$ ：

$%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B1-x%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%7D%7D%3D(1-x)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(1%2Bx)%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%3D(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dx)(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dx)%3D1-x%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%5E2$

舍去 $%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%5E2$ 得

$%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B1-x%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%7D%7D%3D1-x$

3.保留二階以上小量

當要求保留到二階以上的無窮小量時，我們可以利用泰勒級數(shù)：

$f(x)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cdfrac%7Bf%5En(x_0)%7D%7Bn!%7D(x-x_0)%5En$

0.1.5微元法在運動學的應用

1.微元求和

在推導勻變速直線運動位移公式的時候，我們可以將圖像下方的面積分割為若干個矩形面積，矩形面積即代表勻速直線運動的位移。從而可以看成把勻變速直線運動分解為若干個勻速直線運動，則直線下方面積就等于整段過程的位移。

由小量運算可知：若干個矩形的面積之和與直線下方面積之間的差值為一階小量，從而可以舍去。

2.求瞬時加速度

推導勻速圓周運動的向心加速度。

如下圖，當角度 $%5Calpha$ 足夠小時， $%5Coverset%7B%5CLARGE%7B%5Cfrown%7D%7D%7BBC%7D$ 可以看成線段 $BC$ ，從而

$%5Ctriangle%20ABC%5Csim%5Ctriangle%20CNM$ ， $BC%3Dv%5CDelta%20t%20$

由對應邊比值相等得

$%5Cdfrac%7Bv%5CDelta%20t%7D%7B%5CDelta%20v%7D%3D%5Cdfrac%7BR%7D%7Bv%7D$

即

$a_n%3D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20v%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D%20$

3.求瞬時速度

如下圖，環(huán)靜止不動， $%5Cangle%20ABC%3D%5Ctheta$ ，當 $A$ 環(huán)以速度 $u$ 沿連心線方向向右運動，求兩環(huán)交點 $C$ 的速度大小 $v$ 。

當時間足夠短時， $C$ 點附近的平均速度就等于 $C$ 點的瞬時速度。我們在上面已經(jīng)分析過，當運動時間 $%5CDelta%20t$ 足夠短時，環(huán)和交點的運動均可以看成勻速直線運動。其中環(huán)從 $A$ 點移動到 $A_1$ 點，位移 $AA_1%3DCE%3Du%5CDelta%20t$ ，交點從 $C$ 移動到 $D$ 點，位移 $CD%3Dv%5CDelta%20t$ 。