拉格朗日中值定理在高等數(shù)學里面有著一些重要的應用：

這里舉一個應用的例子。

首先給出多元函數(shù)可微的定義:

上圖中假設偏導數(shù)連續(xù)，這里給出多元函數(shù)連續(xù)的定義：

所以

這里要注意的是，

是很明顯的，因為圖3中兩個偏導數(shù)點之間的差距明顯和Δ?x，Δ?y有關，又因為偏導數(shù)連續(xù)，所以這個差距epsilon1肯定會隨著Δ?x，Δ?y趨于0的時候而趨于0。

上圖是按照圖1中的定義要求，證明

是p的高階無窮小。

上述拉格朗日中值定理的應用形式，還在很多其它類似的場合可以看到。我們在進行這方面應用的時候，特別要注意圖3中函數(shù)連續(xù)性的要求。

總之，上述多元函數(shù)可微充分條件的證明，用到了以下幾個步驟：

1：將圖2中原等式按照拉格朗日中值定理的條件進行分拆。

2：利用偏導數(shù)連續(xù)的性質。

3：按照定義要求，證明相應部分是p的高階無窮小。

像這種定理的證明，我們可能往往偏向忽略，但這種證明卻往往用到特別多的概念，這篇文章特別提醒注意。