今天我們介紹Green函數(shù)，這一部分在量子場論中有廣泛的應(yīng)用。下面我們具體介紹，由于這一節(jié)的內(nèi)容有點多，所以分為兩天來讀。

首先，我們已經(jīng)得到了自由標(biāo)量場的算符，并且有了Fock表象下的真空態(tài)。由此我們就可以計算長算符在各種乘積下的平均值。對于標(biāo)量場來說我們主要關(guān)注的還是場算符的對易和反對易關(guān)系。

其中G被稱為Pauli-Jordan或者Schwinger函數(shù)，同時G1被稱為Hadamard分量函數(shù)?？梢詫⑦@些函數(shù)分解為正頻和負(fù)頻部分

其中G+又被稱為Wightman函數(shù)。

這里給出了具體的形式，注意場算符的順序，對于多級的乘積要有時間序列函數(shù)。具體可以參見Peskin的量子場論的書。

在實際的研究中Feynman傳播子可以被定義為：

其中T就是時間序列函數(shù)。\theta表示階躍函數(shù)。并且我們可以定義超前和延遲Green函數(shù)

因此可以改寫其他的Green函數(shù)。

根據(jù)場算符滿足場方程的性質(zhì)，我們可以得到：

G，G1，正負(fù)頻Green函數(shù)都是滿足場方程的。并且有

在計算著三個傳播子時要注意具體的邊界條件。

為了明確的給出Green函數(shù)的表達式，我們需要帶入場算符的具體表達式，得到在動量表象下的形式：

這個積分有兩個奇點?？紤]復(fù)變函數(shù)中的圍道積分，可以繞開這兩個奇點。下圖展示了給中繞開奇點的方式。不同的方式可以得到不同的Green函數(shù)。

例如對于Feynman傳播子的積分?？梢缘玫?/p>

其中sigma是兩點的距離

H 是Hankel函數(shù)。注意小量\varepsilon表記了積分的路徑。如果場是無質(zhì)量的那么可以表示為：

注意無質(zhì)量場的Green函數(shù)用D表示。

下面我們考慮自旋為1/2和1的場，可以定義;

它們滿足：

要注意的是SF是一個矩陣，具體的表示為：

對于一個電磁場它的Feynman傳播子定義為：

它明顯的依賴于規(guī)范，帶入場方程

利用積分表示

注意這里多出來的項，具體的計算在Peskin書上就有。它也是有奇點的，積分和標(biāo)量場的過程一樣。最后的到

如果在場方程中假設(shè)zeta趨于無窮大，則沒有規(guī)范項，此時積分表示趨于無限。也就是說，除非存在規(guī)范破壞項，否則積分表示等式左側(cè)的微分算子是不可反轉(zhuǎn)的。

對于Feynman傳播子的計算為我們在實際的計算中提供了很大的幫助。如果我們將積分的路徑旋轉(zhuǎn)90度，則積分的變量換成了it，并且積分的路徑將不再過奇點。

舉一個標(biāo)量場的例子，我們有：

其中

GE是Euclidean Green函數(shù)，滿足：

其中d'Alembertian是在n為Euclidean空間?？梢钥紤]場phi在Euclidean空間的性質(zhì)。

Euclidean場論的優(yōu)勢在于橢圓算子具有唯一的、定義明確的逆，因為積分表示中的極點位于虛軸而非實軸。因此，在歐幾里得空間中進行計算，并在計算結(jié)束時使用"旋轉(zhuǎn) "回偽Euclidean時空，在數(shù)學(xué)上往往很方便。費曼傳播子的邊界條件就是通過這個過程自動施加的。(請注意，圖路徑圖中的其他等值線都無法在不與極點相交的情況下進行旋轉(zhuǎn)）。更詳細(xì)的討論（以彎曲時空為背景）見 此處的參考文獻。