史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分——

&3.二階線性微分方程的一般理論

&3.2二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

定義：

1. 二階線性微分方程——形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的關(guān)系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，p(x)，q(x)，f(x)在（a,b）連續(xù)。

2. 二階線性齊次方程——當(dāng)f(x)=0，即形如y''+p(x)y'+q(x)y=0的關(guān)系式。?

3. 二階線性非齊次方程——當(dāng)f(x≠0，即形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的關(guān)系式。?

定理：設(shè)y0(x)是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一個特解，y1(x)，y2(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的一個基本解組，則y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解是y=y0(x)+c1y1(x)+c2y2(x).

證明：

1. 任取y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一個特解y*(x)；

2. 則有y*(x)''+p(x)y*(x)'+q(x)y*(x)=f(x)且y0(x)''+p(x)y0(x)'+q(x)y0(x)=f(x)；

3. 則

   (y*(x)"-y0(x)")+p(x)(y*(x)'-y0(x)')+q(x)(y*(x)-y0(x))

   =(y*(x)-y0(x))"+p(x)(y*(x)-y0(x))'+q(x)(y*(x)-y0(x))

   =0；

4. 即y*(x)-y0(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，即y*(x)=y0(x)+c1y1(x)+c2y2(x)，得證。