1.2.2 動(dòng)量方程

納維-斯托克斯方程，又稱為粘性流體動(dòng)量平衡方程。
流入和流出系統(tǒng)的動(dòng)量差值+其他力對(duì)系統(tǒng)作用的總和=系統(tǒng)動(dòng)量的變化量。力包括表面力和體積力。對(duì)于黏性流體，動(dòng)量的傳輸有兩種基本形式：流體質(zhì)量對(duì)流基礎(chǔ)上進(jìn)行的對(duì)流傳輸；流體的黏性引起的動(dòng)量傳輸。物理意義：理想流體微分方程表達(dá)了作用在單位質(zhì)量流體上的力與流體運(yùn)動(dòng)加速度之間的關(guān)系，是流體動(dòng)力學(xué)的基本方程，對(duì)于不可壓縮和可壓縮的流體均適用，也適用于所有的理想流體的運(yùn)動(dòng)。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的物理意義為：它是運(yùn)動(dòng)的流體微團(tuán)的物理量隨時(shí)間的變化率，它等于該物理量由當(dāng)?shù)貢r(shí)間變化所引起的變化率與由流體對(duì)流引起的變化率的和。隨流體運(yùn)動(dòng)的流體微元的瞬時(shí)變化率=由當(dāng)?shù)貢r(shí)間變化引起的變化率+由空間運(yùn)動(dòng)引起的變化率。

此外，也可以通過數(shù)學(xué)中的鏈?zhǔn)椒▌t來推導(dǎo)得到，由于密度是空間和時(shí)間的函數(shù)，則根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t：

動(dòng)量方程又分為守恒形式和不守恒形式兩種。

?

表面力和體積力

其他資料推導(dǎo)過程：

（1）非守恒方程

根據(jù)牛頓第二定律可以得出：F=ma；

因此：對(duì)于流體微元：方程式的左邊：F=表面力+體積力

方程式的右邊，當(dāng)僅考慮x方向的作用力時(shí)：

回到方程式的左邊，體積力可以表示為：

表面力可以表示為流體微元在x方向所有正應(yīng)力和切應(yīng)力之和，其表達(dá)式如下所示：

整理可得：

將體積力表達(dá)式、表面力表達(dá)式和方程右邊表達(dá)式代入牛頓第二定律表達(dá)式中可得：

化簡可得：

同理可得y方向和z方向的兩個(gè)方程：

（2）守恒方程

以x方向?yàn)槔?/p>

根據(jù)：

可得：

將該式子帶入上式子：

根據(jù)標(biāo)量與向量的乘積的散度的向量恒等式：

將該式子帶入非守恒動(dòng)量方程表達(dá)式得：

所謂守恒形式和非守恒形式的區(qū)別如下：

如果方程可以寫成控制方程通用形式：

，即其對(duì)流項(xiàng)均采用散度形式表示的形式，這種控制方程的形式稱為控制方程的守恒形式，這種方程稱為守恒型的控制方程。從微元體的角度考慮，守恒型控制方程等價(jià)于非守恒型控制方程，但是在計(jì)算一些特殊流場(chǎng)時(shí)，守恒型方程和非守恒型控制方程有較大的區(qū)別。根據(jù)《數(shù)值傳熱學(xué)》的描述，在計(jì)算激波時(shí)，守恒型方程計(jì)算結(jié)果光滑而穩(wěn)定，而非守恒型控制方程會(huì)引起數(shù)值計(jì)算結(jié)果的震蕩，造成錯(cuò)誤。并且只有守恒型控制方程才能在計(jì)算有限大小控制容積內(nèi)部所研究的物理量時(shí)守恒定律仍然得到滿足。（總結(jié)自陶文銓《數(shù)值傳熱學(xué)》（第二版））

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參考：

1. https://blog.csdn.net/fanshuzai3/article/details/79190769

2.??樊丁，黃健康《弧焊物理過程建模與數(shù)值分析》