牛頓317、證明“l(fā)im[ f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）”

2021年1月5日，網(wǎng)友“稻草人”發(fā)表名為《極限——極限運算法則證明》的圖片文章。

…極、限、極限：見《歐幾里得218~303》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…運、算、運算：見《歐幾里得121》…

…法、則、法則：見《歐幾里得108》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

?

圖片內(nèi)容：…

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

?

定理3：

如果lim f（x）=A，lim g（x）=B，那么

（1）lim[ f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）=A±B

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍

v.限制；限定；限量；減量…]

?

證明：∵（因為）lim f（x）=A，lim g（x）=B

根據(jù)“在自變量的同一變化過程x→x0（x→∞）中，函數(shù)f（x）具有極限A的充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無窮小”（證明見《牛頓309》），得到：

?f（x）=A+α，g（x）=B+β

…α：Alpha（大寫Α，小寫α，中文音譯：阿爾法、阿拉法），是第1個希臘字母…

…β：beta（大寫Β，小寫β，中文音譯：貝塔），是第2個希臘字母…

于是 f（x）±g（x）=（A±B）+（α±β）

根據(jù)“兩個無窮小的和是無窮小”（證明見《牛頓315》），得：

α±β是無窮小。

?

根據(jù)“在自變量的同一變化過程x→x0（x→∞）中，函數(shù)f（x）具有極限A的充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無窮小”，得：

lim[ f（x）±g（x）]=A±B=lim f（x）±lim g（x）

?

（2）lim[ f（x）g（x）]=lim f（x）lim g（x）=AB

?

證明：∵ lim f（x）=A，lim g（x）=B

?

根據(jù)“在自變量的同一變化過程x→x0（x→∞）中，函數(shù)f（x）具有極限A的充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無窮小”，得：

f（x）=A+α，g（x）=B+β

∴ f（x）g（x）=（A+α）（B+β）=AB+βA+αB+αβ

?

∵ 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，有限個無窮小的乘積是無窮?。ㄗC明見《牛頓316》）；兩個無窮小的和是無窮?。ㄓ邢迋€無窮小之和也是無窮小）。

∴ βA+αB+αβ是無窮小。

?

∵ 在自變量的同一變化過程x→x0（x→∞）中，函數(shù)f（x）具有極限A的充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無窮小。

∴ lim[ f（x）g（x）]=AB=lim f（x）lim g（x）

兩個無窮小的乘積為無窮小，怎么證明？——網(wǎng)友提問

…無、窮、無窮，小，無窮?。阂姟杜ｎD280》…

…積：見《牛頓19》…

?

Dec12（編輯于2019-10-31，11 人贊同了該回答）：這是顯而易見的事情，如果要證明的話也很簡單：

…簡、單、簡單：見《伽利略13》…

（…《伽利略》：小說名…）

?

設(shè)f（x）和g（x）都是x→o時的無窮小，

則對任意ε

存在δ1＞0，0＜x＜δ1時，|f（x）|＜ε

存在δ2＞0，0＜x＜δ2時，|g（x）|＜ε

…ε（伊普西龍）：希臘字母第五個字母，大寫Ε，小寫ε，拉丁字母的E是從ε變來…

…δ（希臘字母）：Delta（大寫 Δ，小寫 δ），是第四個希臘字母…

?

取δ＝min｛δ1，δ2｝

0＜x＜δ時，|f（x）×g（x）|＜ε^2

…min{，}：取{，}里面最小的值…見《牛頓315》…

…^：乘方…

…ε^2：ε的平方…

?

用無窮小定義判斷，x→0時，f（x）×g（x）為無窮小。

?

[無窮小

定義1 （直觀定義） 絕對值無限減小的變量稱為無窮小。

定義2 （直觀定義）

對于任給的正數(shù)ε（無論它多么?。偞嬖谡龜?shù)M，使得不等式|x|＞M的一切x對應的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮小量。

定義3

對于任給的正數(shù) ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)δ，使得不等式0＜|x-x0|＜δ的一切x對應的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮小量。

——《牛頓314》]

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有限個無窮小的乘積是無窮小怎么證明？——網(wǎng)友提問

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予一人（發(fā)布于2019-09-27，8人贊同了該回答）：

假定α1，α2，…，αn是某過程下的無窮小，即

lim α1=lim α2=…=lim αn=0

…過、程、過程：見《歐幾里得194》…

?

于是，利用極限乘法法則，在同一過程下，有

lim（α1α2…αn）=lim α1·lim α2…lim αn=0

?

這即表明α1α2…αn仍是無窮小。

“定理：如果（x→x0）lim f（x）=A（A≠0），那么就存在著x0的某一去心鄰域u（去心）（x0），當x∈u（去心）（x0），有|f（x）|＞|A|/2。

請看下集《牛頓318、函數(shù)極限的性質(zhì)證明》”

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