我們在Ep21聊了“實數(shù)完備性”的第一個定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

我們在Ep49介紹了“實數(shù)完備性”的第二個定理——“單調(diào)有界原理”：單調(diào)有界數(shù)列必收斂。

我們在Ep61介紹了“實數(shù)完備性”的第三個定理——“閉區(qū)間套定理”：

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——

則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數(shù)。

我們在Ep66介紹了“實數(shù)完備性”的第四個定理——“柯西準則”——

條件：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε；

結(jié)論：數(shù)列{xn}有極限x，即對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當n>N'時，有|xn-x|<ε'。

今天我們來從“柯西準則”推導“閉區(qū)間套原理”。

已知：

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時。

求證：這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數(shù)。

工具：柯西收斂原理（：柯西列必為收斂數(shù)列）。

分析：構(gòu)造柯西列即可。

證明——

step1：證明數(shù)列{an}，{bn}是柯西列——

1. 由條件可知，對任意n<n'，有an<=an'<bn'<=bn；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時，即對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，n>N時，bn-an<ε；

3. 由1，2可知，對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，n'>n>N且n">n>N時，|an"-an'|<=bn-an<ε，即數(shù)列{an}是柯西列有極限a；

4. 同理，即數(shù)列{bn}是柯西列有極限b。

step2：證明a=b——

1. 由條件可知，lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時；

2. 已知lim an=a，lim bn=b，則lim（bn-an）=lim?bn-lim?an=b-a=0，則b=a，記這個值為x。

step3：證明x為無限閉區(qū)間序列的公共點——

1. （反證法）假如x不是上述閉區(qū)間序列公共點，即存在自然數(shù)n0，x>bn0或x<an0；

2. 若x>bn0，即x-bn0=ε0>0，任意n>n0，bn<=bn0，則x-bn>=x-bn0；

3. 由2，對任意n>n0，x-an>x-bn>=x-bn0=ε0>0，與x是{an}極限矛盾，故而對任意自然數(shù)n，x<=bn，同理，對任意自然數(shù)n，x>=an，即an<=x<=bn，得證。

step4：證明x唯一性——

1. （反證法）假設存在x'，|x'-x|=ε'>0，對任意自然數(shù)n，也有an<=x'<=bn；

2. 由1，對任意自然數(shù)n，bn-an>=|x'-x|=ε'>0，導出矛盾，則x=x'，即滿足條件的數(shù)字是惟一的，證畢。

今天就到這里！