多年以后，物理學(xué)家會眼帶向往之情地談?wù)撈鹇鍌惔哪瞧懻撨@些方程的論文——“那篇美麗的杰作”。有史以來第一次，洛倫茨的圖像得以向我們清楚展示，說“這很復(fù)雜”究竟意味著什么。混沌的所有豐富意涵都在那里面。

撰文?|?James Gleick

翻譯?|?樓偉珊

在 20 世紀五六十年代，到處彌漫著對于天氣預(yù)報的不切實際的樂觀主義情緒。報紙和雜志上充斥著對于氣象科學(xué)的冀望，不只是天氣預(yù)報，還有人工影響天氣和天氣控制。有兩種技術(shù)正在日漸成熟，那就是電子計算機和人造衛(wèi)星。而一項稱為全球大氣研究計劃的國際合作項目也正在準備充分利用它們。當(dāng)時的一種思想是，人類社會將從天氣的變化無常中解放出來，從其受害者搖身變成其主人。短程線穹頂將罩住玉米地。飛機將直接往云中播散催化劑。科學(xué)家將學(xué)會如何造雨和止雨。
這種思潮的思想之父是馮·諾伊曼，他在設(shè)計自己的第一部計算機時所意圖的功能之一就是控制天氣。他召集了一幫氣象學(xué)家，并向一般科學(xué)界宣傳他的計劃。對于自己的樂觀主義，他有一個數(shù)學(xué)上的具體理由。他注意到，一個復(fù)雜的動力系統(tǒng)可以具有一些不穩(wěn)定點——一些臨界點，在那里，輕輕一推就會引發(fā)重大后果，就像輕推山頂上的球一樣。而馮·諾伊曼設(shè)想，有了計算機的幫助，科學(xué)家就能夠計算出流體運動的方程組在接下來幾天的行為。然后一個由氣象學(xué)家構(gòu)成的中央委員會將派遣飛機去播散煙幕或播云，從而將天氣推向想要的方向。但馮·諾伊曼忽視了混沌的可能性，而到時每一點都將是不穩(wěn)定的。
到了 20 世紀 80 年代，專門有一個龐大的機構(gòu)不惜耗費巨資去追求馮·諾伊曼的目標，至少是其中的天氣預(yù)報部分。在馬里蘭州郊區(qū)（靠近華盛頓環(huán)路）的一棟外表樸素、屋頂布滿雷達和無線電天線的方盒子建筑里，美國的頂尖天氣預(yù)報員濟濟一堂。他們的超級計算機所運行的天氣模型與洛倫茨的只在最基本的精神上相似。相較于皇家–麥克比 LGP - 30 能夠每秒進行六十次乘法運算，一部 CDC Cyber 205 大型機的威力以每秒百萬次浮點運算計。而相較于洛倫茨滿足于十二個方程，現(xiàn)代的全球天氣模型處理的是包含500,000個方程的系統(tǒng)。他們的模型理解隨著空氣收縮和膨脹，水汽釋放和吸收熱量的方式。數(shù)字化的風(fēng)會受到數(shù)字化的山脈的影響。而每個小時，來自全球各個國家的數(shù)據(jù)，來自飛機、衛(wèi)星、船舶的數(shù)據(jù)會匯集到這里。美國國家氣象中心生產(chǎn)出了世界上第二好的天氣預(yù)報。
最好的天氣預(yù)報則出自英格蘭的雷丁鎮(zhèn)，一個距離倫敦一小時車程的大學(xué)小鎮(zhèn)。歐洲中期天氣預(yù)報中心坐落在一處樹木掩映的建筑當(dāng)中，這是一棟有著聯(lián)合國風(fēng)格的現(xiàn)代磚和玻璃建筑，里面還擺放著各地贈送的禮物。它是歐洲共同市場精神全盛之時的產(chǎn)物，當(dāng)時大多數(shù)西歐國家決定匯集各自的人才和資源，以求做出更精準的天氣預(yù)報。歐洲人將他們的成功歸結(jié)為他們輪轉(zhuǎn)的年輕才俊（沒有公務(wù)員）以及他們的克雷超級計算機（似乎總是比美國人所用的計算機先進一個型號）。

天氣預(yù)報標志著利用計算機為復(fù)雜系統(tǒng)建模的開始，但無疑這不是其結(jié)束。同樣的技術(shù)也幫助了其他許多領(lǐng)域的科學(xué)家和社會科學(xué)家做出預(yù)測，從推進器設(shè)計師關(guān)心的小規(guī)模流體流，到經(jīng)濟學(xué)家關(guān)心的大規(guī)模金融流，不一而足。事實上，到了 20 世紀七八十年代，利用計算機進行經(jīng)濟預(yù)測已經(jīng)變得與全球天氣預(yù)報非常相像了。各種模型會穿行在由方程組構(gòu)成的復(fù)雜但不無武斷的網(wǎng)絡(luò)中，通過它們將對于初始條件（不論是大氣壓，還是貨幣供應(yīng)）的測量轉(zhuǎn)化為對于未來趨勢的一個模擬。研究者希望，結(jié)果不會由于許多不可避免的簡化假設(shè)而太過偏離現(xiàn)實。如果一個模型確實得出了某個明顯離譜的結(jié)果（比如撒哈拉發(fā)洪水，或者利率漲三倍），研究者就會調(diào)整方程組，以便使結(jié)果重歸正軌。在實踐中，經(jīng)濟模型屢屢被證明難以對未來做出可靠的預(yù)測，但仍有許多人，他們原本應(yīng)該更清楚這一點，卻表現(xiàn)得仿佛他們對這些結(jié)果深信不疑。經(jīng)濟增長率或失業(yè)率的預(yù)測在被提出時，常常暗示人們自己精確到了兩位或三位小數(shù)。而政府和金融機構(gòu)往往會為這樣一些預(yù)測買單，并在它們的基礎(chǔ)上采取行動，這或許是出于必要或缺乏其他更好選擇。也許他們清楚，像“消費者信心”這樣的變量，并不像“濕度”那樣能夠得到很好的測量，而對于政治和時尚的變化，我們也還沒有找到能夠完美刻畫它們的微分方程組。但很少有人意識到，在計算機上為各種流建模的這個過程本身有多么脆弱，哪怕數(shù)據(jù)是相當(dāng)可靠的，而支配它們的定律，就像在天氣預(yù)報中那樣，是純粹物理的。
計算機建模確實已經(jīng)成功將天氣預(yù)報從一門藝術(shù)變成了一門科學(xué)。歐洲中期天氣預(yù)報中心的評估表明，靠著這些從統(tǒng)計上看聊勝于無的預(yù)測，世界每年得以減少數(shù)十億美元的損失。但超過兩三天，即便世界上最好的天氣預(yù)報也不過是猜測；而超過六七天，它們則變得毫無價值。
蝴蝶效應(yīng)正是個中緣由。對于小尺度天氣現(xiàn)象（在一個全球天氣預(yù)報員看來，“小尺度”可能意味著雷暴和雪暴），任何預(yù)測都會快速惡化而變得沒用。誤差和不確定性不斷積累，在一系列大小不同的湍流現(xiàn)象（從塵卷風(fēng)和颮，到只能透過人造衛(wèi)星看到的巨大渦旋）中不斷放大。
現(xiàn)代的全球天氣模型使用的是從一個格點之間相距一百公里的網(wǎng)格中采樣的數(shù)據(jù)，而即便如此，某些初始數(shù)據(jù)還是需要靠猜測得到，因為地面站和人造衛(wèi)星無法每個地方都觀測到。但不妨設(shè)想整個地球可以布滿傳感器，它們水平間隔三十厘米，垂直間隔三十厘米，往上直到大氣層頂部。再設(shè)想每個傳感器可以給出有關(guān)溫度、氣壓、濕度，以及氣象學(xué)家想了解的其他任何物理量的完全精確的讀數(shù)。然后在正午時分，一部無限強大的計算機讀取所有這些數(shù)據(jù)，并計算接下來每分鐘（12:01, 12:02, 12:03,…）的天氣狀況。
到時，計算機將仍然預(yù)測不出在一個月后的某天，新澤西州普林斯頓鎮(zhèn)是晴天，還是下雨。在正午時分，位于傳感器之間的空間會存在不為計算機所知的隨機漲落，即對于平均值的微小偏離。到了12:01，這些漲落會在三十厘米之外創(chuàng)造出微小的誤差。這些誤差很快會在三米的尺度上不斷積累，如此這般，直到在整個地球的尺度上導(dǎo)致顯著的差異。
即便對于資深氣象學(xué)家來說，所有這些也有違直覺。洛倫茨的一位老朋友是 MIT 的氣象學(xué)家羅伯特·懷特，后者后來成為美國國家海洋和大氣管理局的首任局長。洛倫茨向他說明了蝴蝶效應(yīng)，以及他覺得這對長期預(yù)測來說可能意味著什么。懷特給出了馮·諾伊曼的回答?！邦A(yù)測，無關(guān)緊要，”他說道，“這是天氣控制?！彼南敕ㄊ?，在人力所及范圍內(nèi)的小的人工影響將能夠引致我們想要的大尺度上的天氣變化。
洛倫茨則認為不然。確實，你能夠改變天氣。你能夠使之變成不同于原本的另一副模樣。但如果你這樣做了，你就永遠無法知道它原本會是什么模樣。這就像是把一副已經(jīng)洗勻的撲克牌再洗一次。你知道這會讓你改變運氣，但你不知道運氣會是變好，還是變壞。
洛倫茨的發(fā)現(xiàn)是一個意外，是自阿基米德及其浴缸以來的無數(shù)意外發(fā)現(xiàn)中的一個。洛倫茨向來不是那種大呼“尤里卡”的類型。這個意外發(fā)現(xiàn)只是將他引到了一個他從未曾離開的地方。他準備通過找出它對于科學(xué)理解各種流體流的方式究竟意味著什么，深入探索這個發(fā)現(xiàn)的意涵。
要是他當(dāng)初止步于蝴蝶效應(yīng)，一個說明可預(yù)測性讓步于完全隨機性的意象，那么洛倫茨原本可能揭示的不過只是一個非常壞的消息。但洛倫茨在他的天氣模型中看到的不只是隨機性。他看到了一個精細幾何結(jié)構(gòu)，一種喬裝成隨機性的秩序。畢竟他是一位喬裝成氣象學(xué)家的數(shù)學(xué)家，而這時，他開始過上一種雙面生活。他會寫作純粹氣象學(xué)的論文。但他也會寫作純粹數(shù)學(xué)的論文，只是還以有點兒略微誤導(dǎo)人的天氣話題作為開場白。最終，這樣的開場白也會徹底消失不見。
他將注意力越來越多地轉(zhuǎn)向這樣一些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)，這些系統(tǒng)始終無法找到一個定態(tài)，幾乎要重復(fù)自己，但始終沒有完全做到。每個人都知道，天氣就是這樣一個系統(tǒng)——非周期的。其他類似例子在大自然中所在皆是：幾乎規(guī)則起伏的動物種群數(shù)量，以接近定期的時間表爆發(fā)和消退的流行病，如此等等。要是天氣確實有朝一日來到了一個與它之前經(jīng)歷過的某個狀態(tài)確切一樣的狀態(tài)，每股風(fēng)和每片云都一模一樣，那么有可能它會接下來永遠重復(fù)自己，這時天氣預(yù)報的問題就會變得平凡無奇。
洛倫茨意識到，在天氣不愿意重復(fù)自己與天氣預(yù)報員無法預(yù)測它之間必定存在一種關(guān)聯(lián)——一種在非周期性與不可預(yù)測性之間的關(guān)聯(lián)。找到會生成他所尋覓的非周期性的簡單方程組并不是件易事。一開始，他的計算機模型傾向于陷入始終重復(fù)的循環(huán)。但洛倫茨嘗試了各式各樣的略微復(fù)雜化，并最終在加入一個東西方向上的溫差（對應(yīng)于在現(xiàn)實世界中，比如北美東海岸與大西洋在受熱升溫上的差異）隨時間變化的方程后取得了成功。重復(fù)消失不見了。
蝴蝶效應(yīng)其實并不是一個意外，而是一種必需。洛倫茨推理，設(shè)想小的擾動不是在系統(tǒng)中積累擴大，而是維持這么小的狀態(tài)，那么當(dāng)天氣變得任意接近一個它之前經(jīng)歷過的狀態(tài)時，它就會維持這個樣子，接下來繼續(xù)任意接近該狀態(tài)。實際上，這樣的循環(huán)會是可預(yù)測的——因而最終也是無趣的。為了生成地球上豐富多彩、變化萬端的現(xiàn)實天氣，你大概想象不出比蝴蝶效應(yīng)更好的東西了。
蝴蝶效應(yīng)也被冠以另一個技術(shù)性名稱：對初始條件的敏感依賴。而對初始條件的敏感依賴其實并不是一個全新概念。它在民間故事中就有體現(xiàn)：

少了一釘子，失了一鐵蹄；少了一鐵蹄，失了一戰(zhàn)馬；少了一戰(zhàn)馬，失了一騎士；少了一騎士，失了一勝仗；少了一勝仗，失了一王國。

像在生活中一樣，在科學(xué)中，眾所周知，一連串事件中可以有一個激變點，將小的變化放大。但混沌意味著，這樣的點到處都是。它們無處不在。在像天氣這樣的系統(tǒng)中，對初始條件的敏感依賴是小尺度與大尺度交織在一起的方式的一個不可避免的結(jié)果。
他的同事驚喜于洛倫茨同時把握到了非周期性和對初始條件的敏感依賴，而他所用的只是一個天氣的玩具模型：十二個方程，然后憑借機械的高效率一遍遍加以計算。那么這樣的豐富性、這樣的不可預(yù)測性（這樣的混沌），如何能夠從一個簡單的決定論式系統(tǒng)中冒出來？

洛倫茨暫時放下天氣，試圖找到比它還要更簡單的方式去生成這種復(fù)雜的行為。最終他在一個只由三個方程構(gòu)成的系統(tǒng)中找到了這樣的方式。這些方程是非線性的，也就是說，它們所表示的關(guān)系不是嚴格成比例的。線性關(guān)系可被表示為圖上的一條直線。它理解起來也很容易：多多益善。線性方程組是可解的，而這使得它們適合進入教科書。線性系統(tǒng)還具有一個重要的構(gòu)件化優(yōu)點：你可以把它們拆開，然后再把它們組裝到一起——其各部分是可加的。
非線性系統(tǒng)則一般是不可解和不可加的。在流體系統(tǒng)和力學(xué)系統(tǒng)中，非線性的項往往是人們在試圖得到一個簡單明了的理解時希望加以忽略的一些特征。比如，摩擦力。在沒有摩擦力的情況下，加速一枚冰球所需的能量可用一個簡單的線性方程表示出來。而在有摩擦力的情況下，關(guān)系變得更為復(fù)雜，因為所需的能量取決于冰球已有的運動速度。非線性意味著，參與游戲的行為本身會改變游戲規(guī)則。你無法賦予摩擦力一個恒定的重要性，因為其重要性取決于速度。而速度，反過來，又取決于摩擦力。這種相互依賴使得非線性難以計算，但它也創(chuàng)造出了豐富多彩的、不見于線性系統(tǒng)的各類行為。在流體動力學(xué)中，一切都可以歸結(jié)到一個經(jīng)典方程——納維–斯托克斯方程。這是一個簡潔性的奇跡，將流體的速度、壓強、密度和黏度聯(lián)系到了一起，但它碰巧是非線性的。所以這些關(guān)系的性質(zhì)常常變得不可能明確確定。分析一個像納維–斯托克斯方程這樣的非線性方程的行為，就仿佛是穿行在一個迷宮當(dāng)中，并且其墻壁會隨著你的每一步而發(fā)生重新排列。就像馮·諾伊曼自己所說的：“方程的特性……在所有相關(guān)層面上都同時發(fā)生改變：次數(shù)和度都發(fā)生改變。因此，棘手的數(shù)學(xué)難題必定隨之而來。”要是納維–斯托克斯方程里不包含非線性的魔鬼，那么世界會變得大不相同，科學(xué)也會不需要混沌。
洛倫茨的三個方程受到了一類特定的流體運動的啟發(fā)：熱的氣體或液體的上升，即對流。在大氣中，靠近地面的空氣受熱膨脹上升；在熱的瀝青和散熱器表面，熱氣升騰，氤氳似鬼魅。洛倫茨也樂于談?wù)撘槐瓱峥Х戎械膶α?。按照他的說法，這只是我們可能希望預(yù)測其未來的不可計數(shù)的流體動力過程中的一種。我們?nèi)绾文軌蛴嬎愠鲆槐Х葧鋮s得多快？如果咖啡只是溫的，那么不需要任何流體動力運動，其熱量也會慢慢耗散。這時咖啡維持在一個定態(tài)。但如果它足夠熱，對流過程就會將熱咖啡從杯底帶到溫度較低的杯面。只需在杯中加入些許稀奶油，咖啡中的對流便會變得清晰可見。由此產(chǎn)生的白色渦旋可以非常復(fù)雜。但這樣一個系統(tǒng)的長期命運是顯而易見的。由于熱量不斷耗散，也由于摩擦力減緩了流體的速度，整個運動必定最終不可避免會停止。洛倫茨便對著一幫科學(xué)家一本正經(jīng)地開玩笑道：“我們可能難以預(yù)報咖啡在一分鐘后的溫度，但我們應(yīng)該不難預(yù)報它在一小時后的溫度?！笨坍嬕槐鋮s的咖啡的運動方程組必須要能夠反映系統(tǒng)的這種命運。它們必定要是耗散的?？Х鹊臏囟缺囟ㄒ饾u趨于室溫，而速度必定要趨于零。
洛倫茨選取了一組描述對流的方程，并極力簡化，舍棄一切有可能出錯的東西，使之簡單到脫離現(xiàn)實。原始模型幾乎一點兒影子都沒有剩下，但他的確將非線性保留了下來。在物理學(xué)家的眼中，這些方程看上去甚是簡單。你會掃上一眼（后來的許多科學(xué)家確實就是如此），然后說：“我能夠求解它?！?/span>
“確實，”洛倫茨平靜地說道，“當(dāng)你看到它們時，你會傾向于這樣想。它們當(dāng)中存在一些非線性的項，但你認為必定存在某種方式可以繞過它們。但你就是無法做到?！?/span>
最簡單的教科書式對流出現(xiàn)在一個充滿流體的盒子中，盒子的一個平滑底面可被加熱，而另一個平滑頂面可被冷卻。熱的底部與冷的頂部之間的溫差控制著流體流的運動。如果溫差很小，那么整個系統(tǒng)保持靜止。這時熱量通過熱傳導(dǎo)從底部流向頂部，就仿佛流經(jīng)一塊金屬，不足以克服流體宏觀上維持不動的自然傾向。此外，整個系統(tǒng)是穩(wěn)定的。任何隨機運動（比如一個研究生敲擊實驗設(shè)備所引發(fā)的）會慢慢消失，使系統(tǒng)回歸其定態(tài)。

?Adolph E. Brotman

翻滾的流體：當(dāng)一種液體或氣體在底部受熱時，該流體傾向于自組織形成一個個圓柱狀的渦卷（左圖）。熱流體在一邊上升，逐漸失去熱量，然后在另一邊下沉——這就是對流過程。進一步加熱后（右圖），一種不穩(wěn)定性開始出現(xiàn)，渦卷開始沿著圓柱體的長軸前后擺動。在更高的溫度上，流體流變得恣意和紊亂。

但增大加熱強度，新的一類行為就會出現(xiàn)。隨著底部的流體受熱，它體積膨脹。隨著它體積膨脹，它密度變小。而隨著它密度變小，它相對變輕，足以克服摩擦力，從而上升至頂部。在一個小心設(shè)計過的盒子中，圓柱狀的渦卷會出現(xiàn)，其中一邊是熱流體受熱上升，另一邊則是冷流體下沉補充。從側(cè)面看，整個運動構(gòu)成了一個連續(xù)的圓。而在實驗室之外，大自然也經(jīng)常創(chuàng)造出它自己的對流渦胞。比如，當(dāng)太陽加熱沙漠的地表時，翻滾的氣流會在上面的積云或下面的沙堆中創(chuàng)造出神秘莫測的模式。
進一步增大加熱強度，流體的行為會變得更為復(fù)雜。渦卷會開始扭曲、擺動。洛倫茨的方程組太過簡化，完全不足以為這類復(fù)雜性建模。它們所抽象的只是現(xiàn)實世界對流的一個特征：熱流體上升而冷流體下沉、翻滾仿似摩天輪的圓周運動。這些方程考慮了這種運動的速度以及熱量的傳遞，而這些物理過程是相互作用的。隨著熱流體沿著圓上升，它會與其他較冷的部分相接觸，從而開始失去熱量。如果運動的速度足夠快，那么底部流體在抵達頂部并開始順著渦卷的另一邊下沉?xí)r不會失去所有的額外熱量，所以它實際上會開始阻礙處在身后的其他熱流體的運動。

盡管洛倫茨的系統(tǒng)沒有為對流完全建模，但事實證明，它還是能在現(xiàn)實系統(tǒng)中找到一些確切的對應(yīng)物。比如，他的方程組就精確描述了一種老式發(fā)電機。作為現(xiàn)代發(fā)電機的祖先，圓盤發(fā)電機通過圓盤在磁場中轉(zhuǎn)動而生成電流。在特定條件下，一種雙圓盤發(fā)電機能夠反轉(zhuǎn)線路中的電流。在洛倫茨的方程組變得為更多人所知后，有些科學(xué)家就提出，這樣一種發(fā)電機的行為或許可以解釋另一種怪異的反轉(zhuǎn)現(xiàn)象：地磁場。人們已經(jīng)知道，在地球的歷史上，這種“地磁發(fā)電機”已經(jīng)反轉(zhuǎn)過很多次，并且這些反轉(zhuǎn)之間的間隔看上去毫無規(guī)則、難以解釋。面對這樣的不規(guī)則性，理論研究者通常試圖在系統(tǒng)之外尋找解釋，提出諸如隕石撞擊之類的理由。但或許地磁發(fā)電機自有其混沌。
另一個可被洛倫茨的方程組精確描述的系統(tǒng)是某種水車，這是對流的圓周運動的一個力學(xué)類比。在頂部，水勻速流入掛在水車邊緣的水斗中。每個水斗則透過底下的一個小孔勻速將水漏出。如果水流緩慢，那么最高處的水斗將永遠無法積累足夠多的水，不足以克服摩擦力；但如果水流變快，最高處的水斗的重量將帶動水車開始轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動可能持續(xù)朝同一個方向?；蛘呷绻魅绱酥?，以至于重的水斗越過最低點來到另一邊，于是整個水車可能變慢、停止，然后反向轉(zhuǎn)動，一下朝一個方向，一下朝另一個方向。
面對這樣一個簡單的力學(xué)系統(tǒng)，物理學(xué)家的直覺（其前混沌的直覺）會告訴他，長期來看，如果水流保持勻速，一個定態(tài)就將會演化出來。要么水車勻速轉(zhuǎn)動，要么它穩(wěn)定地來回振蕩，以恒定的間隔一下朝一個方向，一下朝另一個方向。但洛倫茨發(fā)現(xiàn)情況并非如此。

?Adolph E. Brotman

洛倫茨的水車：由愛德華·洛倫茨發(fā)現(xiàn)的第一個著名的混沌系統(tǒng)確切對應(yīng)于一個力學(xué)裝置：一部水車。這個簡單的裝置被證明能夠生成出人意料復(fù)雜的行為。

水車的轉(zhuǎn)動具有一些與對流過程中流體形成的翻滾圓柱體相似的屬性。水車就像圓柱體的一個橫截面。兩個系統(tǒng)都被勻速驅(qū)動（被水或熱量），并且兩者都耗散能量（流體失熱，而水斗漏水）。在兩個系統(tǒng)中，長期行為都取決于驅(qū)動能量的強弱。水從頂部勻速流入。如果水流緩慢，最高處的水斗永遠無法積累足夠多的水，不足以克服摩擦力，整個水車就不會開始轉(zhuǎn)動。（類似地，在流體中，如果熱量不夠多，不足以克服黏性，流體也不會開始運動。）如果水流變快，最高處的水斗的重量將帶動水車開始轉(zhuǎn)動（左圖）。整個水車會進入一個朝同一個方向的勻速轉(zhuǎn)動（中間圖）。但如果水流變得更快（右圖），由于系統(tǒng)內(nèi)稟的非線性效應(yīng)，轉(zhuǎn)動會變得混沌。隨著水斗經(jīng)過水流下方，它們能夠承接的水量取決于轉(zhuǎn)動的速度。一方面，如果水車轉(zhuǎn)得很快，水斗就沒有多少時間接水。（類似地，處在快速翻滾的對流中的流體也沒有多少時間吸收熱量。）另一方面，如果水車轉(zhuǎn)得很快，水斗會在水漏光之前來到另一邊。因此，在另一邊向上運動的重的水斗會導(dǎo)致轉(zhuǎn)動變慢，乃至反轉(zhuǎn)。事實上，洛倫茨發(fā)現(xiàn)，長期來看，轉(zhuǎn)動會多次反轉(zhuǎn)，并且從不會出現(xiàn)一個穩(wěn)定的頻率，也從不會以任何可預(yù)測的模式重復(fù)自己。
三個方程（連同其三個變量）完全描述了這個系統(tǒng)的運動。洛倫茨的計算機輸出了這三個變量不斷變化的值：0–10–0, 4–12–0, 9–20–0, 16–36–2,　30–66–7, 54–115–24, 93–192–74。隨著系統(tǒng)中時間的推移，五個時間單位，一百個，一千個，這些數(shù)起起伏伏。
為了利用數(shù)據(jù)得到一個直觀圖像，洛倫茨以每組的三個數(shù)為坐標，確定三維空間中的一個點。由此，數(shù)的序列生成了一個點的序列，一條記錄下這個系統(tǒng)行為的連續(xù)的軌線。這樣一條軌線可能來到一個地方，然后終止，意味著系統(tǒng)最終進入一個定態(tài)，屆時有關(guān)速度和溫度的變量將不再變化?；蛘哕壘€可能構(gòu)成一個環(huán)，循環(huán)往復(fù)，意味著系統(tǒng)最終進入一個周期性重復(fù)自己的行為模式。
洛倫茨的系統(tǒng)不屬于這兩種情況。相反，它的圖像展現(xiàn)出一種無窮的復(fù)雜性。它始終停留在特定邊界之內(nèi)，不越雷池一步，但也始終沒有重復(fù)自己。它生成了一個怪異而獨特的形狀——某種三維空間中的雙螺線，就好似伸展雙翅的一只蝴蝶。這個形狀透露出純粹的無序，因為其中沒有哪個點或點的模式是重復(fù)的。但它也透露出一種新的類型的秩序。
多年以后，物理學(xué)家會眼帶向往之情地談?wù)撈鹇鍌惔哪瞧懻撨@些方程的論文——“那篇美麗的杰作”。到那時，它被人說得就仿佛是一份古代卷軸，內(nèi)含有關(guān)永恒的天機。在成千上萬的討論混沌的技術(shù)性文獻中，幾乎沒有哪篇論文比《決定論式的非周期性流》一文更常被人引用。在很多年里，也沒有哪一個對象會比該論文中所刻畫的那條神秘曲線，即后來被稱為洛倫茨吸引子的雙螺線，啟發(fā)、催生出更多插圖，乃至動畫。有史以來第一次，洛倫茨的圖像得以向我們清楚展示，說“這很復(fù)雜”究竟意味著什么。混沌的所有豐富意涵都在那里面。

?James P. Crutchfield / Adolph E. Brotman洛倫茨吸引子：這個類似貓頭鷹面具或蝴蝶雙翅的神奇圖像，成了混沌的早期探索者的一個象征。它揭示出了隱藏在一股無序的數(shù)據(jù)流背后的精細結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)上，一個變量的不斷變化的值可表示為一個所謂的時間序列（左上圖）。但要想展示三個變量之間不斷變化的關(guān)系，這需要用到一種不同的技術(shù)。在任意一個給定時刻，三個變量的值確定了三維空間中一個點的位置；而隨著系統(tǒng)變化，這個點的運動就代表了這些不斷變化的變量。由于系統(tǒng)永遠不會確切重復(fù)自己，因此其軌跡永遠不會自相交。相反，它始終在繞來繞去。吸引子的運動是抽象的，但它還是傳遞出了現(xiàn)實系統(tǒng)運動的某些特征。比如，從吸引子的一翼躍至另一翼就對應(yīng)于水車或?qū)α髁黧w的運動方向的反轉(zhuǎn)。
不過，在當(dāng)時，幾乎沒有人能看出這一點。洛倫茨曾向威廉·馬爾庫斯（一位MIT的應(yīng)用數(shù)學(xué)教授，也是一位彬彬有禮的科學(xué)家，對于同仁的工作有著非凡的賞識能力）描述了自己的發(fā)現(xiàn)。馬爾庫斯聽完笑了起來：“埃德，我們知道（我們清楚地知道），流體的對流根本不會出現(xiàn)那種情況。”馬爾庫斯告訴他，復(fù)雜性無疑會慢慢削弱，系統(tǒng)最終將趨于穩(wěn)定而規(guī)則的運動。
“當(dāng)然，我們當(dāng)時完全沒有把握到重點，”馬爾庫斯在二十多年后（即在他曾在自己的地下室實驗室里實際搭起一部洛倫茨水車，以便向非信仰者“傳道”的多年之后）說道，“埃德當(dāng)時所思考的根本不是我們的物理學(xué)。他所思考的是某種一般化的或抽象的模型，而其展現(xiàn)出來的行為，他出于本能感到，是外部世界的某些層面的典型行為，不過他無法跟我們這樣說。只是在事后，我們才意識到他當(dāng)初必定是這樣一些觀點?！?/span>
當(dāng)時很少有外行人意識到，科學(xué)界已經(jīng)變得多么相互隔絕；它就猶如一艘戰(zhàn)艦，其中一道道水密艙壁使各艙室相互隔絕，密不透水。生物學(xué)家不需要再關(guān)注數(shù)學(xué)文獻，也已經(jīng)有足夠多的東西需要閱讀——事實上，分子生物學(xué)家不需要再關(guān)注種群生物學(xué)，也已經(jīng)有足夠多的東西需要閱讀。物理學(xué)家也有比瀏覽氣象學(xué)期刊更好的方式去花費自己寶貴的時間。原本有些數(shù)學(xué)家會興奮于看到洛倫茨的發(fā)現(xiàn)；而在接下來的十年里，也有許多物理學(xué)家、天文學(xué)家和生物學(xué)家一直在尋找像這樣的東西，并且有時他們還自己重新發(fā)現(xiàn)了它。但洛倫茨是一位氣象學(xué)家，而當(dāng)時沒有人想到要去《大氣科學(xué)期刊》第20卷的第103頁找尋混沌。

本文經(jīng)授權(quán)節(jié)選自《混沌》（人民郵電出版社2021版），標題為編輯所加。掃描或長按識別下圖二維碼購書 ↓↓↓