定理3.1 設(shè)x,y,z是R^n中的向量，a,b是實(shí)數(shù)，則下列性質(zhì)成立。

1. 封閉性

a. x+y是R^n中的向量；

b. ax是R^n中的向量。

2. 加法運(yùn)算性質(zhì)

a. 交換律

b. 結(jié)合律

c. R^n中包含零向量0

x+0=x

d. x的相反數(shù)存在且包含于R^n，x+(-x)=0。

3. 數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)

a. 結(jié)合律

b. 數(shù)乘分配律

c. 存在單位向量使

1x=x。

定義3.1 以分量為實(shí)數(shù)的n維向量的全體R^n，同時考慮定義在他們上面的加分和數(shù)乘運(yùn)算，稱為實(shí)數(shù)域R上的n維向量空間，仍記為R^n。

定理3.2 R^n中非空子集W構(gòu)成R^n的子空間的充要條件是：

a. 對任意x,y屬于W，有x+y屬于W

b. 對任意x屬于W，有ax屬于W

定理3.3 設(shè)A是m×n矩陣，經(jīng)過有限次初等行變換后得到的m×n矩陣B，則A和B具有相同的行空間。

定義3.2 設(shè)W是R^n的子空間，S={w1,w2,...,wm}是W的子集。若W中任意向量w都可以寫成集合S中向量的線性組合形式，則稱S是W的生成集。

即：W是由S生成的子空間，W=Sp(S)

定義3.3 設(shè)W是R^n的非零子空間，如果m個向量屬于W，該m個向量線性無關(guān)且W中任意向量都可由該m個向量表示，則這m個向量組成的向量組為W的一組基，m為W的維數(shù)

定義3.4 坐標(biāo)

定理3.4 設(shè)A是非零矩陣，經(jīng)過初等變換得到行階梯形矩陣B，則B的非零行向量構(gòu)成W的行向量的一組基

定理3.5 設(shè)R^n中的向量s在基e1,e2,...,en下的坐標(biāo)為(x1,x2,...,xn)^T，在基e'1,e'2,...,e'n下的坐標(biāo)(x'1,x'2,...,x'n)^T，若從基e到基e'的過渡矩陣為C，則

原坐標(biāo)=C?變換后的坐標(biāo)

定義3.5 內(nèi)積

定義3.6 向量長度，單位化

定義3.7 正交

定理3.6 設(shè)u1,u2,...,up是R^n中的非零向量，若u中向量兩兩正交，則u線性無關(guān)

定義3.8 正交基，標(biāo)準(zhǔn)正交基

推論：設(shè)W是R^n的m維子空間，若u是W中m個非零向量且兩兩正交，則為W的一組正交基

定理3.7 施密特正交化

wi=ui-Σ(k=1,i-1)[(wk^T)*ui/||wk||]wk

定義3.9 基礎(chǔ)解系，通解。

基礎(chǔ)解系中向量線性無關(guān)

定理3.8 通解的表示（系數(shù)矩陣的通解加一個特解）

定義3.10 設(shè)A為m×n矩陣，如果線性方程組Ax=b無解，設(shè)n=(k1,...,kn)^T使得任意s屬于R^n都有

||An-b||<=||As-b||

則稱n為線性方程組Ax=b的一個最小二乘解

定理3.9 設(shè)A為m×n矩陣

a. 線性方程組

(A^T)Ax=(A^T)b有解

b. 線性方程組Ax=b的最小二乘解的集合等于上述方程的解集合

c. 最小二乘解是唯一的當(dāng)且僅當(dāng)A的秩為n