# 不定積分與定積分概念大總結(jié)

——考研競(jìng)賽凱哥

從定義上來(lái)說(shuō)，定積分 $\int_{1}^{0}f(x)dx$ 的本質(zhì)是一個(gè)“**和式極限**”，它屬于積分學(xué)的內(nèi)容，而不定積名 $\int f(x)dx$ 視為**求導(dǎo)的逆運(yùn)算**，故它屬于微分學(xué)的內(nèi)容所以，雖然 $\int_{1}^{0}f(x)dx$ 和 $\int f(x)dx$ 長(zhǎng)得很像。但二者其實(shí)沒(méi)什么關(guān)系。本身是相互獨(dú)立的，直到……直到牛頓萊布尼茲公式的出現(xiàn)，才建立了連接二者的橋梁，是它將 微分學(xué) 和 積分學(xué) 完美的融合到了一起，即 $\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$

但，該公式成立的前提，是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上不僅存在定積名。還存在原函數(shù)，二者只要有一個(gè)不成立，公式便不成立！

所以，我們來(lái)看看，$f(x)$ 在什么時(shí)候存在定積會(huì),什么時(shí)候存

而變上限積分 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 和原函數(shù) $F(x)$ 又是什么關(guān)系？

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## 一、定積分的存在性（背?。?/p>

(一)、什么樣的函數(shù)一定可積?

（可積指：定積分存在。不定積分用收斂和發(fā)散形容）

可積的充分條件：

1.?閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

2.?閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)

3.?閉區(qū)間上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)

可積的必要條件：閉區(qū)間上有界

(二)、什么樣的函數(shù)一定不可積?

無(wú)界

## 二、原函數(shù)的存在性（背?。?/p>

(一)、什么樣的函數(shù)一定存在原函數(shù)? ——閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

(二)、什么樣的函數(shù)一定不存在原函數(shù)? ——導(dǎo)函數(shù)存在定理反過(guò)來(lái)

- 存在第一類(lèi)間斷點(diǎn)

- 存在無(wú)窮間斷點(diǎn)

不能用上面兩個(gè)結(jié)論判斷有還是沒(méi)有，直接暴力求原函數(shù)，求出來(lái)就有，求不出就沒(méi)有

?? 考場(chǎng)上遇到 不存在第一類(lèi)間斷點(diǎn)，也不存在無(wú)窮間斷點(diǎn)，默認(rèn)有原函數(shù)

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## 回顧

可積：

不可積：

存 原：

不存 原：

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## 三、變限積分相關(guān)結(jié)論大總結(jié)（背?。?/p>

1. 若 $f(x)$ 可積，則 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 存在

2. 若 $f(x)$ 可積，則 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 連續(xù)

??1. $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 天生連續(xù)

3. 若 $f(x)$ 連續(xù)，則 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 可導(dǎo)，且 $\varphi'(x)=f(x)$ ，（即 $f(x)$ 連續(xù)時(shí)，$\varphi(x)$ 是其原函數(shù)）

4. 若 $f(x)$ 有一個(gè)可去間斷點(diǎn) $x=x_0$ （其余點(diǎn)處均連續(xù)），則 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 仍可導(dǎo)，但 $\varphi(x)$ **?? 求導(dǎo)以后并不是 $f(x)$** 而是 $f(x)$ 將可去間斷點(diǎn)修復(fù)為連續(xù)點(diǎn)后的新函數(shù) $h(x)$ ，**??（況且，此時(shí) $f(x)$ 本來(lái)就沒(méi)有原函數(shù)）**

5. 若 $f(x)$ 有一個(gè)跳躍間斷點(diǎn) $x=x_0$ （其余點(diǎn)處均連續(xù)），則 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 在 $x=x_0$ 不可導(dǎo)（左右導(dǎo)數(shù)不同）\*\*??（況且，此時(shí) $f(x)$ 本來(lái)就沒(méi)有原函數(shù)）

6. 若 $f(x)$ 為奇函數(shù)，則 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 為偶函數(shù)；若 $f(x)$ 為偶函數(shù)，則 $\varphi(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$ 為奇函數(shù)（**?? 積分下限為 0）**

7. 若 $f(x)$ 以 T 為周期，則 $f'(x)$ 必以 T 為周期，但 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 以 T 為周期的充要條件是——“ $\int_{T}^{0}f(x)dx=0$ ”

(4)和(5) 證明：

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## 真題秒殺場(chǎng)

1. 張宇 18 講

2. 2006 年

3. 2009 年

4. 2013 年