鄭濤（Tao Steven Zheng）著

這道題來自秦九韶（公元1202年 - 1261年）《數(shù)書九章》（大衍類·卷二·分糶推原）。以下題解詳解秦九韶的大衍求一術(shù)和大衍總數(shù)術(shù)。

【問題】

【原文】

問：有上農(nóng)三人，力田所收之米，系用足斗均分，各往他處出糶，甲糶與本郡官場，余三斗二升。乙糶與安吉鄉(xiāng)民，余七斗。丙糶與平江攬戶，余三斗。欲知共米及三人所分各糶石數(shù)幾何。

【今譯】

問：有三位農(nóng)民，耕田收獲的稻米，用標準斗平均分配，各自去不同的地方賣米。甲在本郡的官方市場出售米后，剩下 3 斗 2 升。乙把米賣給安吉的村民后，剩下 7 斗。丙把米賣給平江的攬戶后，剩下 3 斗。求解最初共收的米多少石，以及各位農(nóng)民賣米的石數(shù)是多少石。

秦九韶給出的解法，每個市場都有不同的 “斛率”（ 容量單位）：官方市場的斛是 8 斗 3 升，安吉市場 1 石 1 斗，平江市場 1 石 3 斗 5 升。

因為 1 斗 = 10 升 和 1 石 = 10 斗 = 100 升，此問題的線性同余式組：

求最小正整數(shù)解。

【題解】

一、求定數(shù)

此問題的模數(shù)（modulus）是，秦九韶稱之為“問數(shù)”。因為這些問數(shù)都是自然數(shù)，它們又被稱為元數(shù)。問題的余數(shù)（remainder）是 。

注意第二個和第三個問數(shù)不是互質(zhì)（coprime）的，因為110和135都有公約數(shù)5。秦九韶使用 “連環(huán)求等” 來簡約一些非互質(zhì)問數(shù)。此問題簡約第三個。新的問數(shù)叫 “定數(shù)”：。因為 ，第三個余數(shù)更新為 3。所以， 。

隨后，新線性同余式組問題是：

二、求衍母和衍數(shù)

首先計算 “衍母” ，衍母等于定數(shù)相乘。

用衍母除各定數(shù)得衍數(shù) 。

三、求乘率

求奇數(shù) （此題有三個）， 其中滿足 。

秦九韶使用大衍求一術(shù)來解每個同余式 ，其中 叫“乘率”。

這里解釋如何用大衍求一術(shù)解 。

步驟一：立天元、奇數(shù)、定數(shù)。

步驟二：用大衍求一術(shù)把天元推算成乘率。

這道題的乘率為 。

四、求用數(shù)和總數(shù)

“用數(shù)”為 ：

“總數(shù)” 等于用數(shù)乘余數(shù)之和 ：

五、求最小正整數(shù)解

因此，每個農(nóng)民賣的米總量為 24600 升或 246 石，總量為 738 石。

秦九韶給出的答案

【原文】

答曰：共米，七百三十八石。三人分米，各二百四十六石。

甲糶官斛，二百九十六石。

乙糶安吉斛，二百二十三石。

丙糶平江斛，一百八十二石。

【今譯】

答：共米的總量是738石，由三人平分，即得每人246石。

利用官場的斛數(shù)，甲賣出296石。

利用安吉的斛數(shù)，乙賣出223石。

利用平江的斛數(shù)，丙賣出182石。