第三步，仔細(xì)研究一下電阻是怎么回事。

電場(chǎng)到底是如何驅(qū)使電子跑起來(lái)的？電子本身再不斷熱運(yùn)動(dòng)(dB_t)，在統(tǒng)計(jì)上不會(huì)產(chǎn)生漂移。如果沒(méi)有任何阻力，電子應(yīng)該會(huì)勻加速地跑（當(dāng)然不會(huì)無(wú)限加速，一是有相對(duì)論限制，二是會(huì)輻射能量）。但是實(shí)際上，電子還會(huì)與原子實(shí)碰撞，于是實(shí)際上運(yùn)動(dòng)是先加速，然后碰撞散射（轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能），再重新朝著原來(lái)方向加速。假設(shè)電子碰撞后各向同性散射，于是統(tǒng)計(jì)上可以看作是靜止的。如果我們?cè)偌僭O(shè)電子的碰撞可以看成一個(gè)Poisson過(guò)程，其強(qiáng)度為\lambda?；谶@兩個(gè)假設(shè)，電子的速度這個(gè)隨機(jī)過(guò)程平均意義上就是aE/(m\lambda)。也就是說(shuō)平均意義上可以看成勻速運(yùn)動(dòng)。

因此，我們可以引入另一個(gè)特定性假設(shè)（假設(shè)(2)，微觀Ohm定律）

其中的\sigma為電導(dǎo)率。這當(dāng)然只是一個(gè)線性近似，取決于材料本身。對(duì)于非線性元件就沒(méi)有辦法這么假設(shè)了。

Remark: 邏輯上來(lái)說(shuō)，假設(shè)(2)=Lorentz力公式+碰撞假設(shè)。

更常用的是宏觀的Ohm定律。假設(shè)一個(gè)圓柱形的電阻，通一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)E，則電流為

這就是宏觀的Ohm定律。\rho為電阻率，即電導(dǎo)率的倒數(shù)。所以說(shuō)歐姆定律并不是什么本質(zhì)性的東西。

可以感受一下電阻率的數(shù)值大小：

往上的適合做導(dǎo)線，往下的適合做電爐。

電導(dǎo)率，或者說(shuō)電阻，刻畫的另一個(gè)方面就是電磁場(chǎng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的能力。單位時(shí)間內(nèi)，I/e這么多電子通過(guò)，每個(gè)電子消耗的電磁場(chǎng)能為eU，它一開始轉(zhuǎn)化成動(dòng)能，但是平均意義上從頭到尾動(dòng)能沒(méi)變，于是eU最終變成了內(nèi)能。產(chǎn)生內(nèi)能的功率為I/e*eU=IU，也就是我們熟悉的Joule定律。

穿插估算一下電子定向漂移的速度和熱運(yùn)動(dòng)速度的大小。

熱運(yùn)動(dòng)很好算，

對(duì)于定向漂移的速度，假設(shè)在銅導(dǎo)線上加上E=1V/m的電場(chǎng)，則電子運(yùn)動(dòng)速度為

這是個(gè)極其緩慢的速度（只比分針快一點(diǎn)）。

Remark: 閉合開關(guān)的時(shí)候，電場(chǎng)以光速傳播，使電路內(nèi)每個(gè)電子（近乎同時(shí)）開始運(yùn)動(dòng)。但是電子運(yùn)動(dòng)速度很慢，如果電子大到肉眼可見，我們甚至看不到它在動(dòng)，要好幾分鐘才能察覺(jué)到它在動(dòng)。這和我們的直覺(jué)是相違背的。

就像封閉系統(tǒng)只能達(dá)到細(xì)致平衡，僅僅有靜電場(chǎng)不能維持穩(wěn)恒電流（否則E積分一圈正比于j積分一圈，不等于0，與\nabla\times E=0矛盾），必須要有電源提供非靜電力。

電源可以想像成一個(gè)用鑷子強(qiáng)行把電荷逆著電場(chǎng)方向夾過(guò)去的裝置，也就是把機(jī)械能/化學(xué)能->電子動(dòng)能和電磁場(chǎng)能（回想能量的連續(xù)性方程）。鑷子就是非靜電力（簡(jiǎn)單點(diǎn)干脆想像成機(jī)械力）。這樣就變成了一個(gè)非封閉系統(tǒng)，由外界提供能量。用這個(gè)微觀圖像來(lái)思考問(wèn)題。

單位正電荷上的非靜電力，即鑷子的力，記為K。之后討論這個(gè)K到底是怎么來(lái)的。

加上電源之后，就要加另一個(gè)特定性假設(shè)，記為假設(shè)(3)：

第一個(gè)式子是Lorentz力公式加上一個(gè)外力。但是一般用的參數(shù)不是這個(gè)外力，而是第二個(gè)式子定義的電動(dòng)勢(shì)E。

Remark: 電動(dòng)勢(shì)雖然是電壓?jiǎn)挝唬谖锢硪饬x上，它跟電壓完全是兩回事：它反映的是鑷子的力有多大。

假設(shè)(3)加上微觀Ohm定律的邏輯論證，得到假設(shè)(3')，其實(shí)就是微觀Ohm定律加上外力項(xiàng)：

基于以上基本假設(shè)，對(duì)電路的分析。比如說(shuō)，計(jì)算一下電源的路端電壓。完全按照基本假設(shè)來(lái)。

首先，根據(jù)Maxwell方程，我們知道存在電勢(shì)U。如果有一個(gè)從電源負(fù)向向正向有電流I，則

這就是我們?cè)诟咧惺熘墓?，只不過(guò)現(xiàn)在是從基本假設(shè)推出來(lái)的。同理我們也可以證明，電流I通過(guò)一個(gè)電阻R，電位下降IR。同時(shí)，電源可以視為理想電源和電阻的串聯(lián)。類似的方法可以討論更復(fù)雜的電路。

穩(wěn)恒電路中的電荷分布，以及E、B場(chǎng)是長(zhǎng)什么樣的？

首先，

也就是說(shuō)，導(dǎo)體內(nèi)部沒(méi)有凈電荷，凈電荷只分布在表面（或者導(dǎo)體的不均勻處）。要注意，系統(tǒng)中有兩種電荷，原子實(shí)和電子，這里只是說(shuō)在導(dǎo)體內(nèi)部，這兩個(gè)電荷量相等。

然后，在導(dǎo)線內(nèi)部，電流都是朝著一個(gè)方向的，所以場(chǎng)強(qiáng)也都是朝著一個(gè)方向的。這說(shuō)明場(chǎng)強(qiáng)是均勻的（可以用\nabla\cdot E=0和\nabla\times E=0證明）。所以，導(dǎo)線內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)是均勻的，電流密度也是均勻分布的。

Remark: j=\rho v，有人會(huì)想不通，\rho=0了，j怎么會(huì)非零？實(shí)際上應(yīng)該區(qū)分原子實(shí)和電子，二者的總和為0.原子實(shí)不動(dòng)，而電子定向運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生非零的電流。

而對(duì)于導(dǎo)線外的電磁場(chǎng)，因?yàn)槿Q于導(dǎo)線的擺放方式，一般是求不了的。我們一般關(guān)注的也只有導(dǎo)線內(nèi)部。

電路問(wèn)題。

首先我們要搞清楚什么叫求解一個(gè)電路。就像求解Maxwell方程一樣，最終解出來(lái)的結(jié)果應(yīng)該是E(x)和B(x)。對(duì)于電路，我們只關(guān)心導(dǎo)線內(nèi)部的電場(chǎng)，而這個(gè)電場(chǎng)正比于電流密度。所以我們只需要解出所有的電流。這就是求解電路的最終目的。至于其它量，比如電位差，產(chǎn)熱功率等等，只要有了電流就都能算。說(shuō)白了，本質(zhì)上還是一個(gè)求解Maxwell方程的過(guò)程。

我們只考慮有若干（理想）電源和電阻的電路。這個(gè)電路可以有很復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。一般的求解方法是Kirchhoff定律：

1.所有進(jìn)入某節(jié)點(diǎn)的電流的總和等于所有離開這節(jié)點(diǎn)的電流的總和。這是電荷守恒的推論，所以可以歸結(jié)到Maxwell方程。

2.沿著閉合回路所有元件兩端的電勢(shì)差（電壓）的代數(shù)和等于零。這直接就是Maxwell2的推論。

Remark:

1.Kirchhoff定律完全是Maxwell方程的推論。雖然Kirchhoff自己不是這么推出來(lái)的。當(dāng)然我們做題的時(shí)候不用回到Maxwell方程，而是直接utilize這個(gè)方便的工具。

2.Kirchhoff定律是完全的。也就是說(shuō)，它能求解所有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的電路。Theoretically，所有電路問(wèn)題已經(jīng)解出來(lái)了。

3.假設(shè)電路有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和p條支路。Kirchhoff第一方程總共有n-1個(gè)獨(dú)立的，Kirchhoff第二方程總共有n-p+1個(gè)獨(dú)立的。

4.求解之前記得在每個(gè)支路上規(guī)定好電流的正方向。

5.本質(zhì)上，或者說(shuō)數(shù)學(xué)上去理解：Kirchhoff定律就是把Maxwell方程這個(gè)偏微分方程轉(zhuǎn)化成了一個(gè)完全代數(shù)的線性方程組。這在數(shù)學(xué)上是非常痛快的。

至此，電路問(wèn)題已經(jīng)完全解決，列出方程扔進(jìn)Mathematica即可。至于其他的應(yīng)用、技巧、推論，以后慢慢寫；無(wú)非是trick性質(zhì)的，本質(zhì)性的東西已經(jīng)講完了。

最后總結(jié)一下這套理論的邏輯。Maxwell方程+Lorentz力公式+特定性假設(shè)。

圖像上來(lái)說(shuō)，就是這樣的：空間中有一個(gè)電流的環(huán)流，它是穩(wěn)恒的【特定性假設(shè)1】。環(huán)流產(chǎn)生電磁場(chǎng)，按照Lorentz力的方式作用于環(huán)流的其它部分。同時(shí)空間中還存在另外一個(gè)力場(chǎng)K，同樣驅(qū)使著電流。在電磁場(chǎng)的力與K的共同作用下【特定性假設(shè)2】：

電荷維持著環(huán)向運(yùn)動(dòng)。電子在運(yùn)動(dòng)中因?yàn)椴粩嗯鲎?span id="s0sssss00s" class="color-pink-03">【特定性假設(shè)3】，所以在統(tǒng)計(jì)上是勻速的，其速度為

從而達(dá)到一個(gè)穩(wěn)恒狀態(tài)。

從這個(gè)圖像/邏輯出發(fā)就可以得到所有東西。最終我們把Maxwell方程在特定性假設(shè)下等價(jià)轉(zhuǎn)化了Kirchhoff方程，就可以完全地求解一個(gè)電路。